Calcul approché d'intégrales
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 4 exercices sur
le calcul approché d'intégrales.
Noyau de Peano
On considère la formule de quadrature suivante:
.
- Donner la valeur de
puis les valeurs possibles pour
et
< 0 et
ou bien
> 0 et
de sorte que (*) soit exacte pour les éléments de la base cononique de
. - Donner l'ordre maximal de la méthode
.
- Donner l'expression du noyau de Peano en remplissant les cases suivantes:
.
- Donner une majoration de l'erreur
en fonction de la dérivée d'ordre de
.
.
Méthode du point milieu
On désire calculer une valeur approchée
de l'intégrale
par la méthode du point milieu à
près. Pour cela, on prend un nombre de subdivisions uniformes
de l'intervalle
égal à
.
![]()
- Calculer la valeur du pas
.
- Calculer la valeur exacte de l'intégrale
.
- Le nombre de subdivisions
assure-t-il la précision voulue?
.
La valeur du pas est
et la valeur exacte de l'intégrale est
.
et en effet, le nombre de subdivisions
n'assure pas la précision voulue. Donner le nombre minimal de subdivisions
qui assure cette précision.
Calculer la valeur de
correspondant à ce nombre de subdivisions.
Méthode des rectangles
Le but de l'exercice est de calculer une valeur approchée
de l'intégrale
par la méthode des rectangles à gauche à
près. Pour cela, on prend
subdivisions uniformes
de l'intervalle
.
![]()
- Calculer la valeur du pas
.
- Donner la valeur exacte de l'intégrale
.
- Le nombre de subdivisions
permet-il de calculer une valeur approchée avec la précision demandée ?
.
La valeur du pas est
et la valeur exacte de l'intégrale est
et en effet, le nombre de subdivisions
n'assure pas la précision voulue. Donner le nombre minimal de subdivisions qui assure cette précision :
Calculer la valeur de
pour ce nombre de subdivisions par la méthode des rectangles à gauche
Ordre
On considère la formule de quadrature suivante:
. Quelles relations doivent vérifier
pour que cette formule soit exacte pour: | Les fonctions constantes |
|
| Les fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à un |
|
| Les fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à deux |
|
On rentrera les variables
,
sous la forme x1, x2. On écrira les conditions relatives à la base canonique de l'espace des polynômes.
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