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OEF Factoris --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 15 exercices élémentaires sur la factorisation des entiers : existence, unicité, rapport avec pgcd et ppcm, etc.

Nombre de diviseurs

Donner un entier naturel ayant exactement diviseurs (y compris 1 et lui-même) et qui est divisible par au moins deux trois nombres premiers distincts.

Diviseurs d'un entier

Soit un entier ayant exactement 3 facteurs premiers distincts :
On sait que a diviseurs de plus que et que a diviseurs de plus que .
Donner toutes les possibilités pour , , (séparés par des virgules) par ligne par ordre croissant de .

Division

Nous avons un entier dont la factorisation en nombres premiers est de la forme
.
Sachant que divise , que vaut  ?

Diviseur

La factorisation en nombres premiers d'un entier est de la forme
.
Sachant que divise , que vaut  ?

Somme de factorisations

Soient et deux entiers positifs , ayant des factorisations comme suit :
, ,
où les facteurs sont des nombres premiers distincts.

Peut-on avoir une factorisation de la forme

=
où les sont des nombres premiers distincts ?

Trouver facteurs II

Voici la factorisation en facteurs premiers de deux entiers :
,
où les facteurs , sont distincts. Trouver ces facteurs.

Trouver facteurs III

Voici la factorisation en facteurs premiers de deux entiers :
où les facteurs , , sont distincts. Trouver ces facteurs.

pgcd

Soient et deux entiers positifs avec les factorisations suivantes.
, ,
où , , sont des nombres premiers distincts.

Calculer en fonction de , , .


ppcm

Soient et deux entiers positifs avec les factorisations suivantes
, ,
où , , sont des nombres premiers distincts.

Calculer en fonction de , , .


Maximum de facteurs

Soit un entier ayant chiffres décimaux. Sachant que n'a pas de facteur premier inférieur à , combien de facteurs premiers peut-il avoir au maximum ?

Nombre de diviseurs II

Soit un entier positif avec la factorisation suivante en facteurs premiers distincts.
Quel est le nombre de diviseurs de  ?
Un diviseur de est un entier positif qui divise ; 1 et sont des diviseurs de .

Nombre de diviseurs III

Soit un entier positif avec la factorisation suivante en facteurs premiers distincts.
Quel est le nombre de diviseurs de  ?
Un diviseur de est un entier positif qui divise ; 1 et sont des diviseurs de .

Divisions d'essai

On a un entier , et on veut trouver un facteur premier de en essayant de diviser successivement par 2,3,4,5,6,... Sachant que a une factorisation en nombres premiers de la forme
où la somme des puissances vaut mais où les facteurs sont inconnus, quel est le dernier diviseur qu'on doit essayer (sans se poser la question si ce diviseur est premier ou pas), dans le pire des cas ?

Deux facteurs

Calculer le nombre d'entiers positifs inférieurs ou égaux à dont la factorisation en nombres premiers est de la forme
où les puissances et sont des entiers supérieurs ou égaux à .

Deux facteurs II

Calculer le nombre d'entiers positifs inférieurs ou égaux à dont la factorisation en nombres premiers est de la forme
,
où les puissances et sont des entiers supérieurs ou égaux à .
Other exercises on:
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