OEF Développements limités et Taylor --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 18 exercices sur les développements limités des fonctions à une variable réelle.

DL-ordre

Soient et deux fonctions admettant les développements limités suivants en 0 :

= + , = +

A quel ordre peut-on calculer le développement limité de en 0 ? Répondre non si cela n'est pas possible.


DL-ordre+

Soient et deux fonctions admettant les développements limités suivants en 0 :

= + , = +

A quel ordre peut-on calculer le développement limité de en 0 ?


DL-ordrex

Soient et deux fonctions admettant les développements limités suivants en 0 :

= + , = +

A quel ordre peut-on calculer le développement limité de en 0 ? Répondre non si cela n'est pas possible.


DL-ordre-compos0

Soient et deux fonctions admettant les développements limités suivants respectivement en et en :

Peut-on calculer un développement limité de en ?

DL-ordre-compos*

Soient et deux fonctions admettant les développements limités suivants respectivement en et en :

A quel ordre peut-on calculer le développement limité de en ?

Répondre -1 si les renseignements fournis ne sont pas suffisants pour pouvoir calculer un développement limité en .


Dérivée I

Nous avons une fonction dérivable d'ordre 3 et ayant un développement limité

=

au voisinage de . Que vaut la dérivée d'ordre de au point  ?


Dérivée II

Soit une fonction sur RR, et supposons qu'on peut écrire

= .

On peut en déduire que est dérivable en un certain point . Donner la valeur de et celle de ( ) .


Développements limités et notations 1

Soit f  une fonction réelle définie au voisinage de 0 qui s'écrit

dans ce voisinage. De quel ordre est le développement limité de f  au voisinage de l'origine ?


Développements limités et notations II

Soit une fonction réelle définie au voisinage de 0 qui s'écrit, dans ce voisinage,

.

L'assertion suivante est-elle vraie ?


Estimation d'erreur I

Soit une fonction dérivable à l'ordre 4 dans l'intervalle [,] et admettant le développement limité

=

au voisinage de 0. On suppose que sur [,]. Calculer l'erreur maximale obtenue en remplaçant par sur [,].


Estimation d'erreur II

Soit une fonction dérivable à l'ordre dans l'intervalle [,] et admettant le développement limité suivant

=

au voisinage de . On suppose que sur cet intervalle, quelle est l'erreur maximale faite en remplaçant par

sur [,] ?


Estimation d'erreur III

Soit une fonction dérivable à l'ordre 4 sur RR et admettant le développement limité suivant

=

au voisinage de 0. On suppose que . On veut remplacer par sur un intervalle sans introduire une erreur supérieure à . Quelle est la valeur maximale de possible ?


Tableau 2

Soit une fonction réelle, dérivable d'ordre 3 sur RR, avec le tableau de dérivées suivant :

()'()''() (3)()
-
0

Quelle est la partie principale du développement limité de d'ordre 2 au voisinage de , c'est-à-dire le polynôme P(x) dans le développement limité

(x) = P(x) + o(()2) ?

Tableau 3

Soit une fonction réelle, dérivable d'ordre 3 sur RR, avec le tableau de dérivées suivant :

()'()''() (3)()
-
0

Quelle est la partie principale du développement limité de d'ordre 3 au voisinage de , c'est-à-dire le polynôme P(x) dans le développement limité

(x) = P(x) + o(()3) ?

Tangente

La fonction admet au voisinage de le développement limité

(x) =

Soit la tangente au graphe de au point (, ()). Quelle est la position du graphe de par rapport à au voisinage de ?

  1. est au-dessous de .
  2. est au-dessus de .
  3. est au-dessous de à gauche (quand  < ), et au-dessus de à droite (quand  > ).
  4. est au-dessus de à gauche, et au-dessous de à droite.

Formule de Taylor 2

Soit une fonction sur à valeurs réelles. Ecrire la formule de Taylor- à l'ordre 2 au point (si besoin, est un point convenable tel que , est une fonction tendant vers 0 lorsque tend vers ):
Pour donner la réponse, ne pas faire preuve d'originalité et écrire les termes dans l'ordre standard ! En effet la formule de Taylor- à l'ordre 2 au point s'écrit
avec une fonction tendant vers 0 lorsque tend vers avec un réel entre et .

Soit la fonction affine définie par

.
On suppose que
pour tout vérifiant .

Avec ces renseignements, la formule de Taylor écrite est-elle utilisable pour donner une majoration de pour ? Si oui, donner la meilleure majoration possible à partir des données. Sinon, répondre non


Valeur

Soit une fonction définie sur RR et supposons qu'on peut écrire

= .

On peut en déduire la valeur de en un certain point . Donnez la valeur de   et celle de  .


Valeur II

Soit une fonction réelle, et supposons qu'on peut écrire

(x) = .

On peut en déduire que est dérivable en un certain point . Donnez la valeur de  , et celle de  .

Other exercises on: Taylor expansion  

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