Nombres complexes (trigonométrie et géométrie)

Sommaire

Introduction

Ce cours fait partie d'un ensemble de cours sur les nombres complexes :

Prérequis

Pour vous assurer de vos connaissances de base sur les nombres complexes, consultez le cours WIMS Nombres complexes (introduction) et testez-vous sur les exercices. Plus précisément, avant d'aborder la partie calcul algébrique, vérifiez que vous avez acquis les notions et les méthodes de la partie 2. Avant d'aborder la partie trigonométrie, vérifiez que vous avez acquis les notions et les méthodes de la partie 3. Pour la partie géométrique, travaillez les parties 1 et 4.

Ensuite vous pourrez poursuivre votre étude.

Calcul algébrique

  1. Formule du binôme de Newton
  2. Équations linéaires
Pour compléter l'étude des équations à coefficients complexes, étudiez le cours Doc Nombres complexes . En particulier, c'est dans ce cours que vous trouverez la résolution des équations en z et z¯.

Trigonométrie

  1. Formules de trigonométrie
  2. Démonstrations de quelques formules de trigonométrie
  3. Forme exponentielle, propriétés
  4. Exercices
  5. Formule de Moivre
  6. Formules d'Euler et linéarisation
  7. Somme d'exponentielles complexes
  8. Écriture exponentielle et formules trigonométriques
  9. Applications

Géométrie

  1. Alignement et orthogonalité
  2. Cercles
  3. Détermination de lieux
  4. Nombres complexes et suites (exercices).

Formule du binôme de Newton

La formule du binôme de Newton se démontre dans de la même façon que dans .
Formule du binôme de Newton.

Soient n et k deux entiers naturels, avec kn, on appelle coefficient binomial le nombre noté (nk) défini par :

(nk)=n!(nk)!k!

Si a et b sont deux nombres complexes, et n un entier naturel, alors on a la formule suivante :

(a+b) n= k=0 k=n(nk)a nkb k= k=0 k=n(nk)a kb nk

Nous verrons à la page Formules d'Euler et linéarisation une application de la formule du binôme de Newton à la trigonométrie.
Exercices. Application de la formule.
  1. Calculer les expressions suivantes : a=(1+i) 2,b=(23i) 2,c=(0,5+2,4i) 3,d=(2+3i) 5,e=(12i) 5

    a=2i,b=5+12i,c=8,51512,024i,d=122597i,e=41+38i .

  2. Montrer que pour tout n entier naturel : (n0)+(n1)+(n2)+(n3)++(nn)=2 n
  3. Soit n dans *, calculer les deux expressions : A n= 02kn(n2k) et B n= 02k+1n(n2k+1)

    Il pourra être judicieux de calculer A n+B n et A nB n.

    A n=B n=2 n1

  4. Développement d'une puissance
Exercices. Coefficients binomiaux.
  1. Quel est le coefficient du terme a 6b 7 dans le développement de (2a+ib) 13

    Le coefficient vaut : 109824i

  2. Pour calculer des sommes.
    1. Démontrer que, pour 1pn, on a p(np)=n(n1p1). En déduire p=1 p=np(np)
    2. Retrouver ce dernier résultat en dérivant (1+x) n

Équations linéaires

Il s'agit de résoudre, dans , le cas simple des équations du type az+b=0, où a et b sont des nombres complexes. La structure de permet de conduire les calculs comme dans . Pour l'étude générale, on procède par disjonction des cas et on note 𝒮 l’ensemble des solutions.
Règle.
  1. Cas : a=0 et b=0, l'équation admet tout nombre complexe pour solution : 𝒮=
  2. Cas : a=0 et b0, l'équation n'a pas de solution : 𝒮=
  3. Cas : a0, on ajoute b des deux cotés de l'égalité et on divise les deux membres par a : 𝒮={ba}
Exemple. Résoudre dans l'équation : (1+2i)z+54i=0
En appliquant la méthode ci-dessus, on obtient : z=54i1+2i=15(12i)(5+4i)=35+145i
Exemple aléatoire. Résoudre l'équation ()z=. La solution est .
Exercices. Résoudre les équations suivantes.
  1. (2+2i)z+(44i)=8+4i
  2. (52i)z+(3+7i)=232+21i
  3. (1+5i)z13i=2719i
  1. 𝒮={3+i}
  2. 𝒮={12+3i}
  3. 𝒮={26i}
Les systèmes de deux équations linéaires à coefficients complexes, se résolvent, eux aussi, comme on le fait habituellement dans : par les méthodes d'addition, de substitution ou par la méthode du pivot.
Exercice. Résoudre dans le système :
{(2+2i)z+(23i)z=23+4i (1i)z+(32i)z=421i

La solution est : z=1i et z=2+5i .

Formules de trigonométrie

On se propose ici d'énoncer, puis de démontrer à la page suivante quelques-unes des formules de trigonométrie, on pourra les retrouver en utilisant les nombres complexes (voir Écriture exponentielle et formules trigonométriques ).

Pour a, b, p et q des nombres réels, et lorsque toutes les expressions sont bien définies :

Deux formules fondamentales.

cos 2a+sin 2a=1 et 1+tan 2a=1cos 2a

Formules de l'arc moitié.
Lignes trigonométriques de sommes ou différence. Enfin, lorsque toutes les expressions sont bien définies :
Somme ou différence de lignes trigonométriques.
Exercice. Calculs d'expressions du type cos(x+y)

Démonstrations de quelques formules de trigonométrie

Voici deux démonstrations du résultat : cos(a+b)=cosacosbsinasinb, pour a et b réels.

1. Démonstration avec le produit scalaire.

Dans le plan rapporté au repère orthonormé direct (O,I,J), on place sur le cercle unité deux points P et Q, avec (I,OP)=a[2π] et (I,OQ)=b[2π]. Le point P a donc pour coordonnées (cosa,sina) et le point Q a pour coordonnées (cosb,sinb). On écrit deux formes du produit scalaire (OP.OQ) :
(OP.OQ)=cosacosb+sinasinb et (OP.OQ)=OP.OQcos(OP,OQ)=cos(ba)=cos(ab)

On a donc établi le résultat : cos(ab)=cosacosb+sinasinb , et, en changeant b en b, on obtient la formule : cos(a+b)=cosacosbsinasinb.

2. Démonstration géométrique

Dans le repère orthonormé direct (O,I,J), on considère sur le cercle unité trois points A et B et K définis par (OI,OA)=a[2π], (OA,OB)=b[2π] et (OA,OK)=π2[2π]
On en déduit : OA=cosaOI+sinaOJ et OK=cos(a+π2)OI+sin(a+π2)OJ=sinaOI+cosaOJ

Ecrivons le vecteur OB dans deux repères différents.
Dans le repère (O,A,K), on a OB=cosbOA+sinbOK
Donc OB=cosb[cosaOI+sinaOJ]+sinb[sinaOI+cosaOJ] =(cosacosbsinasinb)OI+(sinacosb+sinbcosa)OJ(*)
Puis dans le repère (O,I,J), on a OB=cos(a+b)OI+sin(a+b)OJ (**)
Dans (*) et (**), on identifie les composantes en OI et on obtient cos(a+b)=cosacosbsinasinb.
En considérant les composantes sur OJ on obtient : sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa.

On peut aussi retrouver ce résultat en utilisant des formes exponentielles complexes (voir Écriture exponentielle et formules trigonométriques ).

3. Démonstration du résultat : sinp+sinq=2sin(p+q)2cos(pq)2, pour p et q réels.

On suppose connues les propriétés du sinus et du cosinus des sommes ou différences, dont l'une a été établie ci-dessus. De sin(a+b)=(sinacosb+sinbcosa) et sin(ab)=(sinacosbsinbcosa), on déduit, par somme, sin(a+b)+sin(ab)=2sinacosb.

Posons a+b=p et ab=q, alors on a : a=(p+q2) et b=(pq2) et la formule établie devient

sinp+sinq=2sin(p+q2)cos(pq2)


Les autres formules de la page Formules de trigonométrie se déduisent de celles-ci.

Forme exponentielle, propriétés

Les nombres complexes peuvent s'écrire sous différentes formes (voir cette page ), nous étudions ici plus particulièrement la forme exponentielle.
Notation.

On appelle forme exponentielle d'un nombre complexe non nul z=r(cosθ+isinθ), de module z=r et d'argument θ défini à 2π près, l'écriture : z=re iθ que l'on note également z=rexp(iθ).

A ce niveau, cette écriture est une notation choisie pour sa pertinence dans les propriétés suivantes.
Propriétés. Soit z,z 1,z 2 trois nombres complexes non nuls donnés sous forme exponentielle : z=re iθ,z 1=r 1e iθ 1,z 2=r 2e iθ 2
avec r, r 1, r 2 réels strictement positifs. Soit n est un entier naturel. Les formes exponentielles vérifient ces propriétés :
Ces propriétés sont démontrées dans la page Écriture exponentielle et formules trigonométriques .

Le cas particulier du nombre complexe de module 1 et d'argument π permet d'écrire : e iπ=cosπ+isinπ=1.
Identité d'Euler. On appelle identité d'Euler la formule qui lie trois des constantes les plus importantes des mathématiques :

e iπ=1

Exercices

Exercice. On considère le nombre complexe z=4+4i3. Donner ses formes trigonométrique et exponentielle.

z=8e iπ3=8[cosπ3+isinπ3]

Exercices : Autour de π12
Exercice. Calculer S=sup z=1z 3z+2 2

Il existe x dans tel que : z=e ix. Se rappeler que : z 2=zz¯. Exprimer z 3z+2 2 comme polynôme en cos(x). Chercher enfin les extremums de la fonction définie sur [1,1], tϕ(t)=816t4t 2+16t 3


𝒮=13

Exercice.
  1. Soit z un nombre complexe. On note z=1+z+z 2+z 3+z 4. Montrer que si z1, alors z=1z 51z.
  2. Évaluer z si z=e i2π5. En déduire la valeur de S=1+cos2π5+cos4π5+cos6π5+cos8π5
  3. Montrer que cos2π5+cos8π5=4cos 2π52, et que cos4π5+cos6π5=2cosπ5
  4. En déduire que cosπ5 est solution d'une équation du second degré, et donner sa valeur.

Formule de Moivre

Formule de Moivre. Soit θ un réel non nul et n un entier naturel. La traduction trigonométrique de la propriété : (e iθ) n=e inθ est la formule de Moivre :

cosnθ+isinnθ=[cosθ+isinθ] n

Application. À l'aide de la formule de Moivre et de la formule du binôme de Newton, on peut exprimer cosnθ en fonction des puissances de cosθ, c'est à dire sous forme d'un polynôme en cosθ en utilisant la Formule du binôme de Newton .
Exemple. Pour n=2 , la formule de Moivre permet d'écrire cos2θ+isin2θ=(cosθ+isinθ) 2=cos 2θ+2isinθcosθsin 2θ
On en déduit, par exemple, en égalant les parties réelles et imaginaires :
cos2θ=cos 2θsin 2θ=2cos 2θ1=12sin 2θ
sin2θ=2sinθcosθ
Exemple aléatoire.

En utilisant l'expression de la puissance n-ième d'une somme à l'aide des coefficients binomiaux, on obtient

cos(6*x)+isin(6*x)=.

On sépare ensuite les parties réelles et imaginaires.

Exercice.
Soit θ un réel non nul, montrer que :
Exercice.
Calculer S=1+(n1)cosx+(n2)cos2x++(nn)cosnx

On pourra poser S=(n1)sinx+(n2)sin2x++(nn)sinnx, puis calculer S+iS.

S=2 ncos n(x2)cosnx2.

Exercice.
Calculer, à l'aide de la formule de Moivre pour n=5, cos5a en fonction de cosa. En déduire la valeur de cosπ10.

cos5a=16cos 5a20cos 3a+5cosa
cosπ10=5+58

Formules d'Euler et linéarisation

Les deux écritures e ix=cosx+isinx et e ix=cosxisinx, permettent d'exprimer les sinus et cosinus en fonction d'exponentielles complexes. On arrive facilement aux formules d'Euler :

Formules d'Euler.

Pour tout x réel, on a : cosx=e ix+e ix2 et sinx=e ixe ix2i

Application. Linéarisation des polynômes trigonométriques

Intégrer des polynômes trigonométriques, c'est-à-dire des polynômes en sinus et cosinus, se révèle parfois peu évident. La technique dite de linéarisation des polynômes trigonométriques est dans certains cas d'une aide précieuse.Elle consiste à transformer les puissances cos(x) p, sin(x) q en sommes et multiples d'expressions du type cos(rx) ou sin(sx). On utilise pour cela les formules d'Euler, successivement dans les deux sens. (Voir Application à l'intégration )

Exemple : Linéariser sin 3x
sin 3x=(e ixe ix2i) 3 =(18i 3)(e 3ix3e 2ixe ix+3e ixe 2ixe 3ix) =(18)(e 3ixe 3ixi3e ixe ixi) =3sinxsin3x4
Exercices. Linéariser sin 2xcos 3x , puis sin 3xcos 3x, puis cos 4x, puis sin 3xcos 2x
sin 2xcos 3x=116cos5x116cos3x+18cosx
sin 3xcos 3x=132sin6x+332sin2x
cos 4x=18cos4x+12cos2x+38
sin 3xcos 2x=116sin5x+116sin3x+18sinx
Exercice. Donner la forme trigonométrique de A n=(1+i) n+(1i) n

Le nombre A n est réel, comme somme d'un complexe et de son conjugué ; son signe (car il il n'est pas toujours positif) va déterminer l'argument... Il va falloir regarder le signe de cos(nπ4)...

A n=(2) n+2cos(nπ4)
  • cos(nπ4)>0n=8k+p,ketp{0,1,7}. On a donc : A n=(2) n+2cos(nπ4)[cos0+isin0]
  • cos(nπ4)<0n=8k+p,ketp{3,4,5}. On a donc : A n=(2) n+2cos(nπ4)[cosπ+isinπ]
  • cos(nπ4)=0n=8k+p,ketp{2,6}. On a donc : A n=0
Exercice. Pour calculer des sommes avec des nombres complexes. (Plus difficile)
On pose j=1+i32.
  1. Montrer que la suite (j n) n est périodique de période 3 (on écrira les dix premiers termes de cette suite).
  2. Pour n, calculer les trois sommes A=(n0)+(n3)+(n6)+, B=(n1)+(n4)+(n7)+, C=(n2)+(n5)+(n8)+.
    Ces trois sommes sont finies, le k des (nk) étant toujours inférieur ou égal à n.

On intéressera aux trois sommes A+B+C,A+jB+j 2C,A+j 2B+jC, en faisant apparaître des développements de binôme de Newton.

  • A+B+C=2 n;A+jB+j 2C=(1+j) n=e inπ3;A+j 2B+jC=(1+j 2) n=e inπ3
  • En se souvenant que 1+j+j 2=0, on combinera, en les multipliant par des coefficients judicieux et en les additionnant, les trois égalités ci-dessus pour faire disparaitre à chaque fois deux des trois termes A,B ou C
  • A=13[2 n+2cosnπ3],B=13[2 n+2cos(n2)π3],C=13[2 n+2cos(n+2)π3]
    N.B. En conduisant les calculs différemment (sans faire aucune erreur de calcul) on peut arriver à des résultats un peu différents de ceux qui sont indiqués ci-dessus. En fait, ce sera bien le même résultat, sous une autre forme, et il peut être instructif de retrouver ceux qui sont donnés ici.

Somme d'exponentielles complexes

Pour simplifier une somme faisant intervenir une ou des exponentielles complexes, la méthode de factorisation par l'argument moitié peut être utile. Voyons cela sur un exemple. On veut mettre sous forme exponentielle A=1+e iαα est un réel quelconque. L'idée efficace est de factoriser A par e iα2, ce qui donne :

A=1+e iα=e iα2(e iα2+e iα2)=e iα2(2cosα2).

On s'est approché du but : on a fait apparaitre 2cosα2 qui est réel, et l’exponentielle complexe e iα2. Mais 2cosα2 n'est pas nécessairement le module de A, car il n'est pas toujours positif. Il faut donc un peu poursuivre le travail et préciser son signe. Mais la méthode utilisée a permis de progresser ! Il reste à s'intéresser au signe de 2cosα2. Ceci est développé

.
Application à : sinpsinq=2sin(pq2)cos(p+q2)

Les formules d'Euler permettent d'écrire : (sinpsinq)=12i(e ipe ipe iq+e iq).
La bonne idée est ici de mettre en facteur e ip+q2 dans la partie e ipe iq:
e ipe iq=e ip+q2(e ipq2e ip+q2)=e ip+q22isin(pq2)
puis on met en facteur e ipq2 dans la partie e ipe iq:
e ipe iq=e ipq2(e ip+q2e ipq2)=e ipq22isin(p+q2)
En regroupant ces deux résultats, on obtient : sinpsinq=12i[(e ip+q22isin(pq2)e ipq22isin(p+q2)]=12[2sin(pq2)(e ip+q2+e ipq2)]=2sin(pq2)cos(p+q2)
Exercices.
  1. Mettre sous forme trigonométrique le nombre complexe z=e ix+e iy, sachant que π2<xy2<π2
    Comme, ici, cosxy2 est positif, z a pour forme exponentielle 2cosxy2e ix+y2 et pour forme trigonométrique 2cosxy2[cosx+y2+isinx+y2]
  2. Soit aπ. Quel est le module et l'argument de z=1+cosa+isina1cosaisina ?
    z=1+e ia1e ia=e ia2[e ia2+e ia2]e ia2[e ia2e ia2]=2cosa22isina2=itana2
    On en déduit : z=1tana2=cotana2 et argz=arg(i)arg(tana2)=π2arg(tana2)[2π].
    Pour calculer arg(tana2), on étudie le signe du réel tana2.
    • Pour tana2>0, arg(tana2)=0 et argz=π2[2π]
    • Pour tana2<0, arg(tana2)=π et argz=π2[2π]
  3. Soit n et x un réel quelconque. Calculer S n= k=0 ncos(kx).
    Pensez que cos(kx)=e(e ikx) et calculez k=0 ne ikx dont il suffira de conserver la partie réelle.
    Comme plus haut, dans l'expression 1e ix, on peut factoriser par e ix2, ce qui donne: 1e ix=e ix2(e ix2e ix2)
    Enfin ne pas oublier le cas où x=0
    Pour x0S n=cos(nx2)sin(n+1)x2sinx2
    Pour x=0S n=n+1.

Écriture exponentielle et formules trigonométriques

Nous démontrons ici la première propriété de la forme exponentielle (voir cette page ) en nous appuyant sur les Formules de trigonométrie mais surtout nous montrons comment les propriétés de la forme exponentielle et les formules d'Euler permettent de retrouver les formules de trignométrie

Démonstration de : z 1z 2=r 1e iθ 1r 2e iθ 2=r 1r 2e i(θ 1+θ 2)
Soit z 1=r 1e iθ 1=r 1[cosθ 1+isinθ 1] et z 2=r 2e iθ 2=r 2[cosθ 2+isinθ 2]
z 1z 2=r 1[cosθ 1+isinθ 1]r 2[cosθ 2+isinθ 2]
z 1z 2=r 1r 2[(cosθ 1cosθ 2sinθ 1sinθ 2)+i(sinθ 1cosθ 2+sinθ 2cosθ 1)]
z 1z 2=r 1r 2[cos(θ 1+θ 2)+isin(θ 1+θ 2)]
z 1z 2=r 1r 2e i(θ 1+θ 2)

La notation exponentielle et les formules d'Euler aident à retrouver facilement les formules trigonométriques.

Exemples.
  1. cos(a+b)=cosacosbsinasinb.
    Soit a et b deux nombres réels. On écrit les formes trigonométriques du résultat qui vient d'être vu : e i(a+b)=e iae ib
    cos(a+b)+isin(a+b)=(cosa+isina)(cosb+isinb)=(cosacosbsinasinb)+i(sinacosb+sinbcosa)
    On obtient cos(a+b) (et sin(a+b)), en égalant les parties réelles et imaginaires.
    Toutes les autres formules se retrouvent de même.
  2. cosacosb=12(cos(a+b)+cos(ab)).
    cosacosb=14(e ia+e ia)(e ib+e ib)=14(e i(a+b)+e i(ab)+e i(ab)+e i(a+b)). Le résultat en découle.

Equations trigonométriques

Rappelons les trois résultats élémentaires, mais fondamentaux, sur les équations trigonométriques.
Propriétés
Soit a,b,c trois réels, 1a1, 1b1, c réel quelconque.
  1. Équation : cosx 1=a. On cherche s'il existe un réel α tel que cosα=a.
    L'équation admet alors les solutions : x 1=±α+2kπ ( k)
  2. Équation : sinx 2=b. On cherche s'il existe un réel β tel que sinβ=a.
    L'équation admet alors les solutions : x 2=β+2kπ, et x 2=πβ+2kπ ( k)
  3. Équation : tanx 3=c. On cherche s'il existe un réel γ tel que tanγ=c.
    L'équation admet alors les solutions : x 3=γ+kπ ( k)

Pour trouver les valeurs α,β,γ, on peut, s'il ne s'agit pas d'angles remarquables connus, utiliser une calculatrice et les touches des fonctions trigonométriques directes et inverses. Cela dépend des calculatrices : soit les touches arccos, arcsin, arctan ou, sur d'autres, avec deux touches inv/cos, inv/sin, inv/tan ou 2nd/cos , 2nd/sin, 2nd/tan

Exemple : Pour x=0,7, on obtient (en radians) : arccosx=2,34619, arcsinx=0,775397, arctanx=0,610726.
Exercices.
  1. Résoudre dans :
    • cos(x+π4)+sin(2xπ3)=0

      x=π12+2kπ avec k ou x=5π36+2kπ3 avec k

    • cos2x11cosx+6>0

      On rappelle que cos(2x)=2cos(x) 21. Poser ensuite X=cos(x), puis résoudre l'équation X 211X+5>0.
      La solution est :π3+2kπ<x<5π3+2kπ(k)

  2. Nombre de solutions d'une équation trigonométrique
  3. Solutions d'une équation trigonométrique

Equations trigonométriques (suite)

Étude de l'équation : acosx+bsinx=c avec a,b,c réels, et (a,b)(0,0).

Méthode générale. On divise les deux membres de l'équation à résoudre par a 2+b 2, ce qui conduit à l'équation :

aa 2+b 2cosx+ ba 2+b 2sinx=ca 2+b 2.

Posons α=aa 2+b 2 et β=ba 2+b 2. On remarque que α 2+β 2=1. Égalité à rapprocher de : cos 2θ+sin 2θ=1. Par identification, mais c'est un théorème qui le justifie, il existe θ réel, défini à 2π près, vérifiant :

cosθ=α=aa 2+b 2 et sinθ=β=ba 2+b 2

L'équation s'écrit maintenant :

cosθcosx+sinθsinx=ca 2+b 2 ou encore : cos(xθ)=ca 2+b 2.

Ceci ouvre à une discussion suivant les valeurs de C=ca 2+b 2.
  1. Dans le cas C],1[]1,+[, l'équation n'admet pas de solution.
  2. Dans le cas 1C1, il existe γ[0,2π[ vérifiant cosγ=C.
    L'équation s'écrit maintenant : cos(xθ)=cos(γ)
    L'ensemble des solutions est donc {γ+θ+2kπ(k)} {γ+θ+2kπ(k)}.
Exercices. Résoudre les équations :

Application à l'intégration

Si on veut intégrer des expressions du type P[sin px,cos qx]dx avec (p,q) 2 et P un polynôme, en particulier lorsque p et q sont pairs, on utilise la linéarisation (voir ici ) pour les termes en sin px et cos qx. Si p ou q est impair, on peut aussi reconnaître une dérivée et faire un changement de variable (voir un cours sur l'intégration).

Exemple. Calcul de I=sin 4xcos 2xdx
sin 4xcos 2x=(12i) 4(e ixe ix) 2(12) 2(e ix+e ix) 2==(132)(e 6ix+e 6ix2(e 4ix+e 4ix)(e 2ix+e 2ix)+4
=(132)(2cos6x4cos4x2cos2x+4). L'intégration se fait sans difficulté maintenant puisqu'une primitive de cos(nx) est sinnxn.
On trouve I=1192sin6x164sin4x164sin2x+116x+C, où C est une constante quelconque.
Exercice . Calculer I= 0 π2sin 2xcos 3xdx, en linéarisant l'expression à intégrer.

Une primitive est : 18sinx148sin3x180sin5x. Et I vaut 215

Exercice . Calculer I= 0 π2sin 3xcos 3xdx, en linéarisant l'expresssion à intégrer.

Une primitive est : 364cos2x+1192cos6x. Et I vaut 112

Puissance entière d'un nombre complexe.

Pour le calcul de puissance entière d'un nombre complexe, sa forme trigonométrique est souvent plus utile que la forme algébrique.

Soit z, mis sous forme trigonométrique : z=ρ(cosθ+isinθ),( ρ>0 et θ réels).
On utilisera le résultat z n=ρ n(cosnθ+isinnθ) .

Exercices.

Alignement et orthogonalité

On considère 4 points A,B,C,D d'affixes respectives a,b,c,d.
Orthogonalité.
Les propositions suivantes sont équivalentes et signifient l'orthogonalité des vecteurs AB et CD.

Alignement de trois points.Trois points A, B, et C distincts sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires ce qui s'écrit :

k tel que AC=kAB.

Les conditions équivalentes sur les affixes des points A, B et C sont :

(caba)(caba)=(caba) ¯ arg(caba)=0[π]

Droite. Soient A et B deux points distincts du plan complexe d'affixes respectives a et b, M un point du plan d'affixe z

M appartient à la droite (AB)(zaba)arg(zaba)=0[π]

Exercices.
  1. Montrer que deux vecteurs V 1 et V 2 non nuls, d'affixes respectives z 1 et z 2 sont colinéaires si et seulement si : z 1z 2 ¯ z 1 ¯ z 2=0
  2. Montrer que deux vecteurs V 1 et V 2 non nuls, d'affixes respectives z 1 et z 2 sont orthogonaux si et seulement si : z 1z 2 ¯ +z 1 ¯ z 2=0
1. V 1 et V 2 sont colinéaires si et seulement s'il existe k dans *, tel que V 1=kV 2z 2=kz 1
2. V 1 et V 2 sont orthogonaux si et seulement s'il existe k dans *, tel que z 2=ikz 1
Exercices sur des triangles.
  1. Triangle isocèle (1)
  2. Triangle rectangle isocèle (2)
  3. Triangle équilatéral

Cercles

Soient A et B deux points distincts d'affixes respectives a et b.
Cercles dans le plan complexe.
  1. Soit M un point du plan d'affixe m. Les deux proposition suivantes sont équivalentes :
    • ma=ba
    • M est sur le cercle centré en A et passant par B.
  2. Le cercle de centre Ω, d'affixe ω, et de rayon r est l'ensemble des points M d'affixe z=ω+re iθ, avec θ un réel quelconque.
Exercices. On se place le plan rapporté à un repère orthonormé. Déterminer l'ensemble des points M d’affixe z vérifiant :
  1. (1+i)z2i=2

    C'est le cercle de centre Ω(1,1) et de rayon r=2.

  2. e(z1zi)=0

    Le cercle de centre Ω(12,12) et de rayon r=22, privé du point I d'affixe i.

  3. z+1z est un nombre réel.

    C'est la réunion du cercle de centre O, et de rayon r=1 et de l'axe réel privé de l'origine.

  4. iz4z4 est un nombre réel.

    C'est le cercle de centre Ω(2,2) et de rayon r=22, privé du point (4,0).

Détermination de lieux

On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
Exercices I. Déterminer l'ensemble des points M d’affixe z vérifiant :
  1. z+z ¯ =1
    • Posons z=x+iy. On a : z+z ¯ =12e(z)=1x=12. Le point M(z) est donc sur la droite d'équation x=12
    • Réciproquement, si M est sur la droite d'équation x=12, il existe y réel tel que z=12+iy. On a alors : z ¯ =12iy et et z+z ¯ vaut 1.
    Le lieu de M est donc la droite d'équation x=12 .
  2. zz ¯ =i
    • Posons z=x+iy. On a : zz ¯ =i2m(z)=1y=12. Le point M est donc sur la droite d'équation y=12
    • Réciproquement, si M est sur la droite d'équation y=12, il existe x réel tel que z=x+i2. On a alors z ¯ =xi2 et zz ¯ vaut i.
    Le lieu de M est donc la droite d'équation y=12
  3. za=zba et b sont des complexes donnés. Solution

    On note A le point d'affixe a et B le point d'affixe b. La condition est la traduction géométrique de l'égalité MA=MB. Le lieu de M est donc la médiatrice du segment [AB]. Voir Cours sur la médiatrice .

  4. zi=izi

    On introduit les points A et B, où A=(1,0) et B=(0,1). L'ensemble cherché est la médiatrice du segment [AB].

  5. z<1

    z<1OM<1. Le lieu cherché est le disque unité ouvert.

  6. z+z¯=z 2

    Le lieu est le cercle de centre (1,0) et de rayon 1.

Exercices II.
  1. Trouver l'ensemble des nombres complexes z tels que les points d'affixe 1, z et 1+z 2 soient alignés.

    Le lieu est la réunion du cercle de centre A=(1,0) de rayon 1, et de l'axe réel.

  2. Soit z=x+iy un nombre complexe. On pose Z=13z3z. Quel est le lieu des points M d'affixe z tel que Z soit réel ? imaginaire pur ?
    1. Z est réel : L'ensemble cherché est l'axe des abscisses, privé du point (3,0).
    2. Z est imaginaire pur : L'ensemble cherché est le cercle de centre Ω=(53,0) et de rayon 43, privé du point A=(3,0).
Exercices III. Il s'agit de reconnaître des zones du plan complexe exprimées en termes de l'argument, le module, la partie réelle et imaginaire. Il y a plusieurs niveaux possibles :
Exercice IV.
Problèmes de maximum ou minimum

Nombres complexes et suites (exercices).

Exercice 1. On considère la suite de nombres complexes (z n) n, définie par : z 0=100,z n+1=i3z n, pour tout entier n. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on note M n le point d'affixe z n.
  1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points O,M netM n+2 sont alignés.
  2. On rappelle qu’un disque de centre A et de rayon r, où r est un nombre réel positif, est l’ensemble des points M du plan vérifiant AMr. Démontrer que, à partir d’un certain rang n 0, tous les points M n appartiennent au disque de centre O et de rayon 1.
  1. Calculer z n+2 en fonction de z n et traduire vectoriellement cette égalité.
  2. Calculer z n en fonction de z 0... On trouve n 0=5.
Exercice 2. On considère les nombres complexes (z n) n définis, pour tout entier n, par z 0=1 et z n+1=(1+i33)z n. On note A n le point d’affixe z n dans un repère orthonormé direct (O,u,v). L’objet de cet exercice est d’étudier la construction des points A n .
  1. Calculer z 1 et z 2 que l’on donnera sous forme exponentielle.
  2. Montrer que, pour tout entier naturel n, z n=(23) ne inπ6. Pour quelles valeurs de n, les points O, A 0 et A n sont-ils alignés ?
  3. Pour tout entier naturel n, on pose d n=z n+1z n. Interpréter géométriquement d n. Calculer d 0, puis montrer que : z n+2z n+1=(1+i33)(z n+1z n). En déduire que la suite (d n) n est géométrique puis que, pour tout entier n, d n=33(23) n
  4. Montrer que pour tout entier naturel n, z n+1 2=z n 2+d n 2. En déduire que, pour tout entier naturel n, le triangle OA nA n+1 est rectangle en A n. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point A 5 sur une figure et justifier cette construction.
  1. Dans (1+i33), mettre 23 en facteur. On trouve : z 1=233e iπ6. z 2=43e iπ3
  2. O, A 0 et A n alignés? Écrire une condition sur les arguments. On trouve n=6k, avec k.
  3. (d n) n est la distance A nA n+1. C'est une suite géométrique de raison q=23.
  4. Calculer z n+1 2, z n 2 et d n 2, puis vérifier l'égalité demandée.
    Pour tracer A 1 à partir de A 0, puisque le triangle OA 0A 1 est rectangle en A 0, on trace la perpendiculaire à la droite OA 0 passant par A 0, puis le cercle de centre A 0 et de rayon 230A 0. Le point A 1 est à l'intersection de la droite et du cercle. Et on recommence... on trace la perpendiculaire à la droite OA n passant par A n, puis le cercle de centre A n et de rayon 230A n. Le point A n+1 est à l'intersection de la droite et du cercle

Exercice 3. On considère la suite z n définie par z 0=1+i, et pour tout entier naturel non nul z n+1=z n+z n3. On pose z n=a n+ib n.
  1. Calculer z 1, puis z n+1 en fonction de a n et de b n.
  2. Que peut-on dire de la suite (b n) n, quelle est sa limite?
  3. Montrer que, pour tout entier naturel n, z n+12z n3, puis, par récurrence, que z n(23) n2. Que peut-on dire de la suite (z n) n ?
  4. Montrer que pour tout entier naturel n, a nz n. Conclusion de l'exercice ?
  1. z 1=(1+23)+i3.
  2. z n+1=a n+a n 2+b n 23+i(b n3). Pour tout n entier naturel b n+1=b n3, (b n) n est une suite géométrique de raison 13 qui converge donc vers 0.
  3. L'inégalité demandée résulte de l'utilisation de l'inégalité triangulaire, et la récurrence est immédiate. z n est une suite géométrique de raison 23 qui converge donc vers 0.
  4. a n=a n 2a n 2+b n 2=z n. Les trois suites a n,b n et donc z n sont convergentes et tendent vers 0
.

cours : forme exponentielle, formules de Moivre et d'Euler, linéarisation, géométrie.
: complex_number,trigonometry,complex_plane,circle,lines, math, interactif, exercice,qcm,cours,classe,biologie,chimie,langue,interactive mathematics, interactive math, server side interactivity,exercise,qcm,class

The most recent version

Cette page n'est pas dans son apparence habituelle parce que WIMS n'a pas pu reconnaître votre navigateur web.
Afin de tester le navigateur que vous utilisez, veuillez taper le mot wims ici : puis appuyez sur ``Entrer''.

Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne sont pas des fichiers HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE. Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.