Éléments de statistiques

Éléments de statistiques

I Indicateurs de position

I-1 Moyenne d'une série à valeurs individuelles

Soit la série statistique suivante qui est la liste des notes d'un élève lors d'un trimestre de sa scolarité :
Notes 7 16 16 17 9 16.5 14.5 16 8 12.5

Pour calculer la moyenne d'une série statistique à valeurs individuelles, on fait la somme de toutes les valeurs et on divise par le nombre de valeurs.
Ici, on a donc :
m = 7+16+16+17+9+16.5+14.5+16+8+12.510
m = 132.510
m = 13.25
Une valeur approchée de la moyenne est de 13.25.

Exercice :

Moyenne - Cliquer
Éléments de statistiquesI Indicateurs de position → I-1 Moyenne d'une série à valeurs individuelles

I-2 Moyenne d'une série à valeurs affectées d'un coefficient

Le professeur décide d'affecter un coefficient aux différentes notes obtenues par l'élève (ou un autre élève), on a alors une nouvelle série statistique, que l'on peut expliciter dans le tableau suivant :

Notes 10.5 11.5 16.5 15 13.5 12
Coeff. 3 1 1 2 1 3

Pour calculer cette moyenne on fait le produit de chaque valeur et du coefficient qui lui est affecté. On fait alors la somme de tous ces produits, puis on divise par la somme des coefficients. Ici, on a donc :
m = 3×10.5+11.5+16.5+2×15+13.5+3×123+1+1+2+1+3
m = 13911
m = 12.64
Une valeur approchée de la moyenne est de 12.64.

Exercice :

Moyenne avec coefficients - Cliquer
Éléments de statistiquesI Indicateurs de position → I-2 Moyenne d'une série à valeurs affectées d'un coefficient

I-3 Médiane

Définition : [Médiane]

On appelle médiane d'une série, un nombre tel qu'il y a autant de valeurs inférieures à ce nombre que de valeurs supérieures.

Premier cas : on prend une série statistique, où les valeurs sont rangées par ordre croissant. Il y a un nombre impairs de valeurs.
Considérons la série suivante qui a 13 éléments : 37,49,57,73,87,64,46,22,88,80,89,74,90.

On ordonne cette série par ordre croissant des valeurs : 22,37,46,49,57,64,73,74,80,87,88,89,90.

On peut alors répartir cette série en trois parties de 6,1,6 éléments.

22,37,46,49,57,64 6 valeurs,73,74,80,87,88,89,90 6 valeurs
La valeur médiane est : 73.
Deuxième cas : on prend une série statistique, où les valeurs sont rangées par ordre croissant. Il y a un nombre pairs de valeurs.
Considérons la série suivante qui a 4 éléments : 22,63,78,20.

On ordonne cette série par ordre croissant des valeurs : 20,22,63,78.

On peut alors répartir cette série en deux parties de même effectif 2 et 2 éléments. On fait alors la moyenne des deux valeurs qui partagent la série.

20,22 2 valeurs,63,78 2 valeurs
On fait alors la moyenne de la valeur de rang 2 (qui vaut 22) avec la valeur de rang 3 (qui vaut 63). La valeur médiane est : (22+63)/2=42.5.

II Indicateur de dispersion

II-1 Étendue

Définition : [Étendue]

L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs du caractère.

Dans la série statistique suivante :
35,54,58,76,68,56,44,45,20,40,78,78.

La plus grande valeur est 78, la plus petite est 20. L'étendue de cette série est donc e=7820=58

Exercice :

  • Médiane 1
  • Médiane 2
  • Moyenne et étendue
  • Moyenne avec coefficients et étendue

III Effectif et fréquence

Définition : [Effectif]

On appelle effectif d'une valeur du caractère (ce que l'on est en train d'étudier), le nombre de fois qu'apparaît cette valeur.

Voici une série statistique :
On peut alors dresser le tableau des effectifs des valeurs de cette série :

Voici une série statistique :
Série 1 5 4 0 4 3 0 2 4 4 4 5 2 0 5 0

et les effectifs des valeurs :
Valeurs 0 1 2 3 4 5
Effectifs 4 1 2 1 5 3

Définition : [Fréquence]

On appelle fréquence d'une valeur du caractère (ce que l'on est en train d'étudier), le quotient de l'effectif de cette valeur par l'effectif total.

La fréquence est un nombre, elle vérifie : 0f1, et on a :

fréquence=effectif partieleffectif total


On utilise aussi la fréquence en pourcentage, ou pourcentage :

pourcentage=fréquence×100


Remarque :

Les lignes "Effectifs" et "Fréquence" du tableau des effectifs des valeurs, sont proportionnelles. On peut calculer le total des effectifs, et on sait que le total des fréquences est égal à 1 (ou à 100 si la fréquence est exprimée en pourcentage.) puis on complète le tableau en utilisant les propriétés des tableaux de proportionnalité.

On peut alors compléter le tableau des effectifs des valeurs de cette série :
Valeurs 0 1 2 3 4 5 Total
Effectifs 4 1 2 1 5 3 16
Fréquences 0.25 0.063 0.125 0.063 0.313 0.188 approx 1
Pourcentages 25 6.3 12.5 6.3 31.3 18.8 approx 100

Exercice :

  • Répartition et fréquences - Cliquer
  • Répartition, fréquences et regroupement - Cliquer
Éléments de statistiques → III Effectif et fréquence

IV Diagrammes

IV-1 Diagrammes en bâtons

Les diagrammes en bâtons, dits aussi diagrammes en barres si on donne une largeur aux bâtons, utilisent les valeurs du caractère (les notes) en abscisse et les valeurs de l'effectif (ou du coefficient) en ordonnée.


Voici une série statistique :
Série 1 4 4 0 0 0 3 2 5 1 3 0 3 5 0

et les effectifs des valeurs :
Valeurs 0 1 2 3 4 5
Effectifs 5 2 1 3 2 2
On peut tracer un diagramme en bâtons :
Éléments de statistiquesIV Diagrammes → IV-1 Diagrammes en bâtons

IV-2 Diagrammes circulaire

Les diagrammes circulaires : il y a proportionnalité entre les mesures des angles et l'effectif associé à un caractère.


Voici une série statistique :
Série 2 7 0 0 6 4 2 2 1 5 1 1 5 3 5 7 1 2 4 1

et les effectifs des valeurs :
Valeurs 0 1 2 3 4 5 6 7
Effectifs 2 5 4 1 2 3 1 2
Angles 36 90 72 18 36 54 18 36
On peut tracer un diagramme en bâtons :
Éléments de statistiquesIV Diagrammes → IV-2 Diagrammes circulaire

IV-3 Histogrammes

Quand les valeurs sont trop nombreuses ou trop continues, la taille de 500 personnes par exemple, on utilise un regroupement en classe, le diagramme associé est appelé histogramme. Pour estimer la moyenne dans de tels problèmes, on utilise le centre de classe comme représentant de la classe. Pour nous, nous ne construirons des histogrammes que quand les classes ont la même amplitude.



Les tailles arrondies à un nombre entier de centimètres des 70 garçons d'un club de football sont les suivantes :
   160        160        160        160        160        160        160        160        160        160    
   160        160        160        160        160        160        160        160        160        160    
   160        160        160        160        160        160        160        160        160        160    
   160        160        160        160        160        160        160        160        160        160    
   160        160        160        160        160        160        160        160        160        160    
   160        160        160        160        160        160        160        160        160        160    
   160        160        160        160        160        160        160        160        160        160    

L'analyse statistique de ces données permet de remplir le tableau suivant :
Tailles [160,165[ [165,170[ [170,175[ [175,180[ [180,185[ [185,190[
Effectif 0 0 0 0 0 0
Fréquence NaN NaN NaN NaN NaN NaN
et voici l'histogramme des effectifs

L'amplitude des classes (différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs de l'intervalle) est de 5. Les centres des classes sont 162.5,167.5,172.5,177.5,182.5,187.5 ; ils sont utiles si on souhaite calculer une valeur approchée de la moyenne.
Éléments de statistiquesIV Diagrammes → IV-3 Histogrammes

V Exercices

Exercice :

  • Étude de taille - Cliquer
  • Effectifs et pourcentages - Cliquer
  • Statistiques et pourcentages - Cliquer
  • Diagrammes circulaires et pourcentages - Cliquer
  • Angles et pourcentages - Cliquer

cours pour la fin du cycle 4 sur les statistiques (quartiles hors programme).
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