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Niveau math.1S
(en cours de réalisation)

Tableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel
(dernière mise à jour : 2003-12-19)

Dernière mise à jour des exercices WIMS : 2007-05-29

Géométrie
Analyse
Probabilités et Statistiques

Géométrie

Sommaire

Sections planes
Repérage
Géométrie vectorielle
Transformations
Lieux géométriques dans le plan.

Sections planes

Sections planes
Connaissances	Capacités	Commentaires
Sections planes d'un cube, d'un tétraèdre.	Pour aborder ces problèmes, les élèves pourront s'aider de manipulations de solides et d'un logiciel de géométrie.	On utilisera les règles d'incidence vues en classe de 2nde pour justifier les constructions des différentes sections planes possibles. Ce travail, en consolidant la perception de l'espace, facilitera l'introduction du repérage cartésien.
Géométrie dans le cube en seconde Géométrie dans le tétraèdre en seconde

Repérage

Repérage
Connaissances	Capacités	Commentaires
Repérage polaire dans le plan et trigonométrie ; mesures des angles orientés, mesure principale, relation de Chasles, lignes trigonométriques des angles associés.	Repérage polaire dans le plan et trigonométrie ; mesures des angles orientés, mesure principale, relation de Chasles, lignes trigonométriques des angles associés. Repérage cartésien dans l'espace. Distance entre deux points en repère orthonormal. Repérage d'abord d'un point du cercle trigonométrique, à l'aide d'un réel défini à un multiple près de 2pi ; lien entre repérage polaire et repérage cartésien.	C'est en "enroulant R" sur le cercle trigonométrique que les élèves ont construit en 2nde les représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus ; une première approche du radian et des angles orientés a alors été réalisée, s'appuyant sur la proportionnalité entre mesure de l'angle au centre et longueur de l'arc intercepté. On gardera ici cette vision dynamique de l'enroulement.
Angles et Cercle trigonométrique Mesure principale et Relation de Chasles Nature d'un quadrilatère Intervalle et donnée trigonométrique I Intervalle et donnée trigonométrique II Coordonnées polaires vers cartésiennes Coordonnées cartésiennes vers polaires
Repérage cartésien dans l'espace. Distance entre deux points en repére orthonormal.	En particulier, équation de quelques objets de l'espace : plans paralléles aux plans de coordonnées ; sphère centrée à l'origine, cône de sommet l'origine et cylindre, chacun ayant pour axe un axe du repére.	Il s'agit ici de rendre familiers quelques objets usuels.
Droite et plan affines dans l'espace Droites affines dans l'espace Intersection Plan / Objet de l'espace I Intersection Plan / Objet de l'espace II Nature d'un triangle Objets de l'espace Objets de l'espace en correspondance

Géométrie vectorielle

Géométrie vectorielle
Connaissances	Capacités	Commentaires
Calcul vectoriel dans l'espace.	On étendra à l'espace les opérations sur les vecteurs du plan. On introduira la notion de vecteurs coplanaires.
Outils : Calculatrice de vecteurs Combinaison Combinaison 2 vecteurs Combinaison 4 vecteurs Trouver combinaison Trouver combinaison 2 vecteurs Relation linéaire Points alignés Points alignés 2 Points coplanaires Vecteurs colinéaires et coordonnées Vecteurs coplanaires et coordonnées 1 Vecteurs coplanaires et coordonnées 2 Vecteurs coplanaires dans un cube
Barycentre de quelques points pondérés dans le plan et l'espace. Associativité du barycentre.	On utilisera la notion de barycentre pour établir des alignements de points, des points de concours de droites.	La notion de barycentre, utile en physique et en statistique, illustre l'efficacité du calcul vectoriel. On évitera toute technicité. On n'étendra pas le produit scalaire à l'espace. On pourra faire le lien avec le travail d'une force
Placer un point sur une droite Transformer et placer Choix des coefficients Barycentre graphique Barycentre et coefficients Barycentres et coordonnées Barycentre partiels graphiques Barycentres partiels et intersection Construction d'un barycentre Barycentres : lequel ? Tir de gravité
Produit scalaire dans le plan ; définition, propriétés.	Propriétés de bilinéarité, de symétrie et expression analytique dans un repére orthonormal.
Projections et symétries Angle Expression analytique dans le plan Linéarité du produit scalaire
Applications du produit scalaire : projeté orthogonal d'un vecteur sur un axe ; calculs de longueurs.	équation d'une droite à l'aide d'un vecteur normal, équation d'un cercle défini par son centre et son rayon ou par son diamétre. Calculs d'angles, de longueurs et d'aires sur des figures planes en liaison avec le produit scalaire ; on établira et utilisera la formule dite d'Al Kashi, le théoréme de la médiane et les formules d'addition et de duplication pour les fonctions cosinus et sinus.	Pour certains exercices, il pourra être utile de disposer des formules reliant les sinus des angles, les côtés et l'aire d'un triangle.
Produit scalaire et cosinus Base orthonormale Changement de base dans le plan Trouver l'équation de l'objet du plan Cercle tangent à une droite Objets du plan Objets du plan II Autour du théorème d'Al-Kashi QCM de trigonométrie Expression analytique dans l'espace Trouver l'équation de l'objet de l'espace Cercle tangent à une droite Equation d'un cercle Equation d'un cercle tangent Distance à une droite Distance d'un point à une droite Equation d'une normale Equation d'une médiatrice Projection orthogonale Projeté orthogonal Tangente à un cercle Droites remarquables d'un triangle Vecteur normal à une droite Distance point-droite I Distance et barycentre Produit scalaire et cosinus Produit scalaire et hauteur Produit scalaire et ensemble de points* Calcul de produit scalaire

Transformations

Transformations
Connaissances	Capacités	Commentaires
Translations et homothéties dans le plan et l'espace : définitions ; image d'un couple de points ; effet sur l'alignement, le barycentre, les angles orientés, les longueurs, les aires et les volumes ; image d'une figure (segment, droite, cercle).	Toutes les transformations connues seront utilisées dans l'étude des configurations, pour la détermination de lieux géométriques et dans la recherche de problémes de construction, en particulier au travers des logiciels de géométrie.	Les transformations planes abordées en collége (translation, symétrie axiale, rotation) n'ont pas à faire l'objet d'un chapitre particulier.
Tir d'homothétie

Lieux géométriques dans le plan.

Lieux géométriques dans le plan.
Connaissances	Capacités	Commentaires
Les logiciels de géométrie dynamique seront utilisés pour visualiser certains lieux.	On choisira quelques exemples mettant en évidence la diversité des méthodes de recherche (propriétés des configurations, vecteurs, produit scalaire, transformations, géométrie analytique). On veillera à traiter des cas nécessitant de démontrer une double inclusion.	La problématique des lieux géométriques sera présente dans tous les paragraphes de géométrie. Elle ne fera pas l'objet d'un chapitre indépendant. Il s'agit de ne pas s'en tenir à une simple observation mais de mobiliser les connaissances pour établir mathématiquement diverses caractéristiques géométriques. On s'appuiera, le cas échéant, sur le caractère bijectif des transformations ou sur une démarche d'analyse-synthèse.

Analyse

Sommaire

Généralités sur les fonctions
Dérivation
Comportement asymptotique de certaines fonctions
Suites

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions
Connaissances	Capacités	Commentaires
Opérations sur les fonctions: $u + v$ , $λ u$ , $u v$ , $v$ , $u \circ v$ . Définition d'une fonction polynôme et de son degré.	On partira des fonctions étudiées en classe de 2nde. Sur des exemples et selon le probléme traité, on proposera plusieurs écritures d'une même fonction trinôme, d'une même fonction homographique.	Les transformations d'écritures s'effectueront à l'occasion des différentes activités de ce chapitre (dérivation, recherche d'asymptotes, résolution d'équations). On remarquera que certaines familles de fonctions sont stables par certaines opérations, pas par d'autres.
Degré de somme Equation de différence Racine de polynôme composé Multiplicité racine de somme Opérations sur fonctions affines Opérations sur paraboles Opérations sur hyperboles Opérations sur fonctions trigo
Sens de variation et représentation graphique d'une fonction de la forme $u + k$ , $k u$ , la fonction $u$ étant connue. Sens de variation de $v o u$ , $u$ et $v$ étant monotones.	On travaillera, à l'aide de grapheurs, sur des familles de courbes représentatives de fonctions associées à deux fonctions données $u$ et $v$ : $u + k$ , $k u$ , $u + v$ , $abs (u)$ , $x \to u (k x)$ et $x \to u (x + k)$ \).	On remarquera à l'aide de contre-exemples qu'on ne peut pas énoncer de régle donnant dans tous les cas le sens de variation de $u + v$ ou de $u v$ . On justifiera les symétries observées sur les représentations graphiques.
Addition graphique reconnaître le graphe de $f + g$ à partir de ceux de $f$ et $g$ , etc. Fonctions graphiques reconnaître le graphe de $f (- x)$ à partir de celui de $f (x)$ , etc. Abs graphique reconnaître le graphe de $f (abs (x))$ à partir de celui de $f$ , etc. Multiplication graphique reconnaître le graphe de $f g$ à partir de ceux de $f$ et $g$ , etc. Dessin de fonctions Variation d'une composée affine Variation d'une composée affine 2 Vrai-Faux: opération et composition
Résolution de l'équation du second degré. Etude du signe d'un trinôme.	On aboutira ici aux formules usuelles donnant les racines et la forme factorisée d'un trinôme du second degré.	On fera le lien entre les résultats et l'observation des représentations graphiques obtenues à l'aide d'un grapheur.
Tir triangulaire Factorisation des polynômes de degré 2 Signe d'un trinôme Inéquations et second degré Intersection 1 Intersection 2 Racines d'un polynôme du second degré v2 Equations bicarrées et autres Factorisation d'un polynôme de degré 3 Allure d'une parabole Intersection droite parabole Position relative droite/parabole Représentation graphique d'un trinôme Simplifier une fraction rationnelle Paramétré deg 2 Paramétré deg 2 II Fonction de racines deg 2 Fonction de racines deg 3 Racines réelles deg 2 Choix quadratique reconnaître le graphe d'un polynôme quadratique. Tabsign (comprendre les tableaux de signe) Associer tableau et expressions Inéquation avec quotient Signe d'un binôme \(ax+b) Expression de signe évident Lecture graphique Signe d'une fonction produit ou quotient

Dérivation

Dérivation
Connaissances	Capacités	Commentaires
Approche cinématique ou graphique du concept de nombre dérivé d'une fonction en un point.	Plusieurs démarches sont possibles : passage de la vitesse moyenne à la vitesse instantanée pour des mouvements rectilignes suivant des lois horaires élémentaires (trinôme du second degré dans un premier temps) ; zooms successifs sur une représentation graphique obtenue à l'écran de la calculatrice.	On ne donnera pas de définition formelle de la notion de limite. Le vocabulaire et la notation relatifs aux limites seront introduits sur des exemples puis utilisés de façon intuitive.

Nombre dérivé d'une fonction en un point : définition comme limite de $\frac{1}{h} (f (a + h) - f (a))$ quand $h$ tend vers 0. Fonction dérivée.		Dans les cas usuels, la limite de $\frac{1}{h} (f (a + h) - f (a))$ s'obtient, après transformation d'écriture, en invoquant des arguments très proches de l'intuition. On ne soulèvera aucune difficulté à leur propos et on admettra tous les résultats utiles.
Nombre dérivé Tangente et nombre dérivé
Tangente à la courbe représentative d'une fonction f dérivable ; approximation affine associée de la fonction.	On construira point par point un ou deux exemples d'approximation de courbe intégrale définie par : y' =f(t) et $y (t_{0}) = y_{0}$ en utilisant l'approximation Df =f'(a) Dt. dérivée. On pourra observer sur grapheur ou tableur l'erreur commise dans le cas où on connaît une expression de la fonction y.	La notion de développement limité à l'ordre 1 n'est pas au programme. On pourra cependant évoquer le caractère optimal de l'approximation affine liée à la dérivée.
Tangente et nombre dérivé Lecture graphique du nombre dérivé Lecture graphique du nombre dérivé (signe) Nombre dérivé et équation de la tangente 1 Nombre dérivé et équation de la tangente 2 Approximation affine
Dérivée des fonctions usuelles : $x \to x^{n}$ , $x \to sqrt [n] (x)$ , $x \to \cos (x)$ , $x \to \sin (x)$ . Dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient et de $x \to f (a x + b)$ .	On justifiera le résultat donnant la dérivée de $u v$ et $\frac{1}{u}$ .	On pourra admettre les dérivées des fonctions sinus et cosinus.
Dérivée d'une composée \(u (a x + b)) Dérivée d'une fonction polynôme Dérivée d'un produit Dérivée d'un quotient Dérivées simples I Multiplication virtuelle I Fractions I Fractions II Dialogue de dérivées Composition virtuelle Ia Dérivée graphique Croissance et signe
Lien entre signe de la dérivée et variations.	On étudiera, sur quelques exemples, le sens de variation de fonctions polynômes de degré 2 ou 3, de fonctions homographiques ou de fonctions rationnelles très simples. On introduira les notions et le vocabulaire usuels (extremum, majorant, minorant) et, de l'étude du sens de variations, on déduira des encadrements d'une fonction sur un intervalle.	On justifiera que la dérivée d'une fonction monotone sur un intervalle est de signe constant ; on admettra la réciproque. L'étude de fonctions ne sera pas présentée comme une fin en soi, mais interviendra lors de la résolution de problèmes.
Variation d'un polynôme du second degré Signe d'un nombre Deductio bornes Lien entre variation et signe de la dérivée 1 Lien entre variation et signe de la dérivée 2 Lien entre variation et signe de la dérivée 3 Etude de fonction 1 Variations d'un polynôme: graphique Variations d'un polynôme: graphique 2

Comportement asymptotique de certaines fonctions

Comportement asymptotique de certaines fonctions
Connaissances	Capacités	Commentaires
Asymptotes verticales, horizontales ou obliques.	On étudiera, sur des exemples très simples (fonctions polynômes de degré 2 ou 3, fonctions rationnelles du type $x \to ax + b + h (x)$ avec $h$ tendant vers 0 en +infini ou -infini), les limites aux bornes de l'intervalle de définition et les asymptotes éventuelles.	On s'appuiera sur l'intuition ; les résultats usuels sur les sommes et produits de limites apparaîtront à travers des exemples et seront ensuite énoncés clairement.
Reconnaissance d'une fonction Position par rapport à son asymptote Association de fonctions Association de fonctions 2 Association de fonctions 3 Détermination des branches infinies Calcul de limites Limites de fractions rationnelles

Suites

Suites
Connaissances	Capacités	Commentaires
Modes de générations d'une suite numérique. Suite croissante, suite décroissante.	Etude de l'évolution de phénomènes discrets amenant à une relation de récurrence.
Calcul de termes de suites A Calcul de termes de suites B Suites bornées à étape Sens de variation de suites A
Suites arithmétiques et suites géométriques.	Calcul des termes d'une suite sur calculatrice ou tableur ; observation des vitesses de croissance (resp. de décroissance) pour des suites arithmétiques et des suites géométriques. Comparaison des valeurs des premiers termes des suites $(1 + t)^{n}$ et $1 + n t$ pour différentes valeurs de $t$ (en lien avec la notion de dérivée). On pourra étudier numériquement, sur ordinateur ou calculatrice, le temps de doublement d'un capital placé à taux d'intérêt constant, la période de désintégration d'une substance radioactive, etc. On veillera à faire réaliser sur calculatrice des programmes où interviennent boucle et test.
Suites numériques Progressions simples Classer des suites A (9 suites). Classer des suites B (9 suites). Suite arithmétique ? 1 Suite arithmétique ? 2 Suite géométrique ? Raison de suites arithmétiques Raison de suites géométriques Calcul de somme de termes de suites
Notion intuitive de limite infinie perçue à partir d'exemples.
Récurrence double Récurrence particulière
Définition de la convergence d'une suite, utilisation de cette définition.	On utilisera au choix une des définitions suivantes pour la convergence d'une suite vers $a$ : Tout intervalle ouvert contenant $a$ contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux. Tout intervalle ouvert contenant $a$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Démonstration du théorème "des gendarmes" ; les théorèmes sur la somme, le produit et le quotient de suites convergentes seront pour la plupart admis. On pourra mettre la définition en oeuvre pour étudier une limite (exemple : suite $(w_{n})$ définie par $w_{n} = \max (u_{n}, v_{n})$ ) ou pour montrer l'unicité de la limite. On montrera avec des exemples la variété de comportement de suites convergeant vers une même limite.	Le travail demandé ici à propos de la définition de la convergence est de nature épistémologique ; il sera présenté aux élèves comme tel et pourra permettre d'amorcer une réflexion, poursuivie en Terminale, sur la nature des mathématiques. Toute définition en epsilon et $N$ est exclue. On indiquera clairement qu'une fois la définition posée et les théorèmes établis, il est en général plus facile d'avoir recours aux théorèmes (ils sont là pour ça) plutôt qu'à la définition, sauf pour les contre-exemples. La définition d'une limite infinie pourra être abordée ou non.
Convergence et différence de termes Convergence et rapport de termes Bornes et Limites Suite arithmético-géométrique Utilisation d'une suite auxiliaire Utilisation d'une suite auxiliaire 2 Utilisation d'une suite auxiliaire 3 Comparaison de suites Deux limites Croissance et borne Limites : fonctions trigonométriques
Limite d'une suite géométrique.
Calcul de limites de suites Fraction 2 termes Fraction 3 termes Puissances I Puissances II

Probabilités et Statistiques

Sommaire

Statistique
Probabilités

Statistique

Statistique
Connaissances	Capacités	Commentaires
Variance et écart-type. Diagramme en boîte ; intervalle inter-quartile. Influence sur l'écart-type et l'intervalle inter-quartile d'une transformation affine des données.	On cherchera des résumés pertinents et on commentera les diagrammes en boîtes de quantités numériques associées à des séries simulées ou non. On observera l'influence des valeurs extrêmes d'une série sur l'écart-type ainsi que la fluctuation de l'écart-type entre séries de même taille. L'usage d'un tableur ou d'une calculatrice permettent d'observer dynamiquement et en temps réel, les effets des modifications des données.	L'objectif est de résumer une série par un couple (mesure de tendance centrale ; mesure de dispersion). Deux choix usuels sont couramment proposés : le couple (médiane ; intervalle interquartile), robuste par rapport aux valeurs extrêmes de la série, et le couple (moyenne ; écart-type). On démontrera que la moyenne est le réel qui minimise $\sum (x - x_{i})^{2}$ , alors qu'elle ne minimise pas $\sum ∣ x - x_{i} ∣$ . On notera $s$ l'écart-type d'une série, plutôt que sigma, réservé à l'écart-type d'une loi de probabilité.
Moyenne et écart-type avec des classes Moyenne et écart-type avec des classes II Médiane et quartiles Médiane et quartiles II Médiane et quartiles avec des classes Médiane, quartiles et déciles Médiane, quartiles et déciles II Médiane, quartiles, déciles et classes Diagrammes en boite et indicateurs Diagrammes en boite I Diagrammes en boite II Calculs de pourcentages (au lycée) (voir pourcentages et quartiles : problème type bac complet)

Probabilités

Probabilités
Connaissances	Capacités	Commentaires
Définition d'une loi de probabilité sur un ensemble fini. Espérance, variance, écart-type d'une loi de probabilité. Probabilité d'un événement, de la réunion et de l'intersection d'événements. Cas de l'équiprobabilité. Variable aléatoire, loi d'une variable aléatoire, espérance, variance, écart-type. Modélisation d'expériences aléatoires de référence (lancers d'un ou plusieurs dés ou pièces discernables ou non, tirage au hasard dans une urne, choix de chiffres au hasard, etc.).	Le lien entre loi de probabilité et distributions de fréquences sera éclairé par un énoncé vulgarisé de la loi des grands nombres. On expliquera ainsi la convergence des moyennes vers l'espérance et des variances empiriques vers les variances théoriques ; on illustrera ceci par des simulations dans des cas simples. On pourra aussi illustrer cette loi avec les diagrammes en boîtes obtenus en simulant par exemple 100 sondages de taille $n$ , pour $n = 10$ ; 100 ; 1000. On simulera des lois de probabilités simples obtenues comme images d'une loi équirépartie par une variable aléatoire (sondage, somme des faces de deux dés, etc).	On pourra par exemple choisir comme énoncé vulgarisé de la loi des grands nombres la proposition suivante : Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité $P$ , les distributions des fréquences calculées sur des séries de taille $n$ se rapprochent de $P$ quand $n$ devient grand. On indiquera que simuler une expérience consiste à simuler un modèle de cette expérience. La modélisation avec des lois ne découlant pas d'une loi équirépartie est hors programme. On évitera le calcul systématique et sans but précis de l'espérance et de la variance de lois de probabilité.
Loi de probabilité d'une v.a.r. 1 Loi de probabilité d'une v.a.r. 2 Calcul de probabilités 1 Calcul de probabilités 2 Calcul de probabilités 3 Tableau croisé 1 Tableau croisé 2 Tableau croisé 3 Tableau croisé 4 Tableau croisé 5 Tableau croisé 6

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