Systèmes dynamiques --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 10 exercices sur .....

Evolution du capital

On dispose d'un compte d'épargne à un taux de %, avec une inflation de %.
L'évolution dans le temps du pouvoir d'achat est donnée par une application

.

Le graphe du pouvoir d'achat est représenté en rouge sur 50 ans. Au bout de combien de temps ? (cliquez sur l'axe du temps)


Dynamique complexe

On considère la famille quadratique

d'applications du plan complexe. Pour chaque , les itérations définissent un en temps discret. En utilisant des agrandissements dans les graphes interactifs suivants, observez que est auto-similaire et qu'il existe une certaine ressemblance locale entre l'ensemble de et celui de

Les couleurs d'intensité croissante représentent les frontières des ensembles et le vert foncé leur intérieur. A gauche on observe l'ensemble de Mandelbrot et à droite l'ensemble de Julia rempli.

En bas de chaque ensemble on peut faire des agrandissements, en utilisant le bouton droit de la souris pour choisir le centre du rectangle à agrandir. En cliquant sur l'ensemble de Mandelbrot, on choisit le paramètre et donc la représentation de change automatiquement.

ATTENTION !!! L'ordinateur ne peut calculer qu'un nombre fini d'éléments de chaque orbite, Aussi, il peut afficher plus de points qu'en réalité en vert foncé (intérieur de Mandelbrot ou de Julia rempli). Il faut donc faire attention à la théorie pour répondre aux questions, par exemple si n'est pas connexe, alors n'a pas d'intérieur et donc a une seule composante connexe .

Soit . ?

Combien de composantes connexes l'ensemble de Fatou a-t-il ?

Indiquez auxquels ensembles appartient le point critique


Points fixes

Soit une application de l'intervalle. Les graphes de (gauche) et de (droite) sont représentés en rouge.

Combien de points fixes a-t-elle ?

L'application n'a pas de points fixes. a point fixe. points fixes. Parmi eux, combien de points sont-ils attractifs ?

Aucun de ces points n'est attractif. Exactement, parmi ces points est attractif. sont attractifs. Combien de points périodiques de période exactement 2 a-t-elle ?

Aucun de ces points n'est périodique de période exactement 2. L'application if{a exactement } point périodique. points périodiques. de période exactement 2. Combien de points périodiques de période exactement 2 a-t-elle ?

L'application n'a pas de points périodiques de période exactement 2. a exactement point périodique points périodiques de période exactement 2. Parmi eux, combien de points sont-ils attractifs ?

Parmi eux, combien de points sont-ils attractifs ?


Portrait de phase

Soit une application de l'intervalle. Son graphe est représenté en rouge.

Pour un , quelle est l'écriture de ?

Quelle est la valeur du paramètre pour laquelle ?

La transformation identifie l'intervalle au cercle et l'application à un homéomorphisme du cercle.
Quel est le portrait de phase de cet homéomorphisme ?


Preimages

La figure verte représente l'ensemble .

Soit l'application définie par pour tout . Identifiez l'ensemble préimage .

Point fixe attractif

Soit une application de l'intervalle (graphe rouge).
Indiquez le point fixe attractif en cliquant sur le graphe.


Rotations

Soit la rotation du cercle d'angle , où .
L'application est-elle périodique ?

Quelle est la période de ?

Indiquez la représentation correcte de la dynamique sur l'orbite périodique de


Trajectoires

Soit la rotation du cercle d'angle . On représente la dynamique sur l'orbite périodique de pour plusieurs valeurs de .
Identifiez les correspondances entre ces valeurs de et les trajectoires de .


Types de point fixe

Soit , une application qui définit un système dynamique sur , où . Son graphe est tracé en rouge sur l'intervalle .

Indiquez les points fixes de dans
est un point fixe
est un point fixe
Le bassin d'attraction du point fixe est

Applications unimodales

Soit une application de l'intervalle (graphe rouge).

Ecrire les abscisses (à près) des points fixes de La droite tracée en vert est la derivée de au point fixe . Indiquez le type du point fixe :
En utilisant éventuellement l'orbite critique (tracée en bleu), identifiez le graphe de l'application


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