Inéquation résolue en ln

Résoudre dans l'inéquation (I) : $\ln (- 2 x - 17) > \ln (7 x + 7)$ .

Il s'agit de répondre aux questions suivantes :

A quelle condition sur $x$ le premier membre de (I) est-il défini ?
A quelle condition sur $x$ le second membre de (I) est-il défini ?
Pour $x$ vérifiant les conditions 1. et 2. , on peut simplifier (I) en une inéquation (I') du premier degré.
Poser l'inéquation (I'). Quelles sont les solutions de (I') ?
En déduire l'ensemble des solutions de (I).
(il faut tenir compte des conditions obtenues en 1., 2. et 3.)

Voici une résolution détaillée de (I) : $\ln (- 2 x - 17) > \ln (7 x + 7)$ :

ln( $- 2 x - 17$ ) est défini à condition que $- 2 x - 17 > 0$ , c'est à dire que $x <$ .

ln( $7 x + 7$ ) est défini à condition que $7 x + 7 > 0$ , c'est à dire que $x >$ .

Pour tout réel $x$ vérifiant ces deux conditions, on peut ramener (I) à une inéquation du premier degré en appliquant la règle $\ln (u) > \ln (v) ⟺ u > v$ :

(I)

- 2 x - 17 > 7 x + 7

- 9 x > 24

x <

Les réels $x$ solutions de (I) doivent donc vérifier les trois inégalités :

$x$ < et $x$ > et $x$ <

Chaque inégalité définit un intervalle ; l'ensemble des solutions est l'intersection des trois intervalles.

x

x ∈

I_{1}

avec

I_{1}

= ] -∞ ; [

x

x ∈

I_{2}

avec

I_{2}

= ] ; +∞[

x

x ∈

I_{3}

avec

I_{3}

= ] -∞ ; [

x

solution de (I) si et seulement si

x

∈

I_{1}

I_{2}

I_{3}

Formons d'abord l'intersection des deux premiers intervalles :

I_{1} \cap I_{2}

= ] -∞ ; [ cap

] ; +∞[ = ] ; [

Formons ensuite l'intersection avec le troisième intervalle :

I_{1} \cap I_{2} \cap I_{3}

= ] ; [ cap

] -∞ ; [ = ] ; [

Conclusion : L'ensemble des solutions de (I) est $]; [$ .

Cet exercice ne vous demande pas de répondre à l'ordinateur. Vous pouvez imprimer cette page, et l'envoyer à votre enseignant en même temps que votre réponse.

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