Géométrie du plan : Frises et Pavages

Géométrie du plan : Frises et Pavages


La première partie de ce document est conçue comme une initiation à la géométrie du plan et une introduction à l'utilisation des groupes. Ce travail mène naturellement à l'étude des frises (ou ornement linéaires) et des pavages, ce que nous faisons ici.
Il a été développé au fil d'un cours d'ouverture à l'intention d'étudiants de L1 et L2 comme une promenade dans la géométrie du plan. Il doit beaucoup à des documents que m'a donnés Daniel Perrin lors de la préparation de ce cours.
frieze pavage

Le plan affine est noté P.

I Frises

II Réseaux et pavages

III D'autres groupes de symétrie

I Frises

lambrequin

I-1 Ornement linéaire


Pour analyser une frise, il faut
  • déterminer la bande, c'est-à-dire la direction des translations et un motif de translation ;
  • trouver son groupe ponctuel, les directions des axes de réflexion, l'ordre des rotations ;
  • placer les éléments de symétrie (centres de rotation, axes de réflexion, axes de réflexion glissée).
  • déterminer le groupe de ses isométries parmi une liste finie que nous allons donner.
  • déterminer un motif de base.

Faisons d'abord l'étude mathématique.

I-2 Groupe discret, groupe ponctuel

I-3 Droite affine invariante de la bande

I-4 Classification

I-5 Nomenclature

I-1 Ornement linéaire

Géométrie du plan : Frises et PavagesI Frises → I-1 Ornement linéaire
Prenons une bande B, c'est-à-dire la zone du plan comprise entre deux droites parallèles et un dessin dans cette bande, c'est-à-dire un sous-ensemble de la bande ou un dessin coloré (un nombre fini de sous-ensembles disjoints de cette bande) contenu dans un parallélogramme et translatons-le dans la direction de la bande de manière à ce qu'il n'y ait pas de superposition, on obtient une frise.

Définition

Un ornement linéaire ou frise est un dessin F de P dont le groupe des translations T(F) de Is(F) est de la forme {t nu,n}u est un vecteur non nul.

Définition

Un motif de translation M est une partie fermée de F, connexe (c'est-à-dire d'un seul morceau) telle que les translatés de M par les translations de Is(F) recouvrent F :
tT(F)M=F
et telle que l'intersection de deux tels translatés soit contenue dans leur frontière. Un motif de base M est une partie fermée de F, connexe, telle que les images de M par les isométries de Is(F) recouvrent F :
tIs(F)M=F
et telle que l'intersection de deux tels transformés soit contenue dans leur frontière.
Par exemple, un parallélogramme de longueur (dans la direction de la bande) la norme de u est un motif de translation. Par contre, le motif de base dépend de la structure du groupe des isométries.

I-2 Groupe discret, groupe ponctuel

Géométrie du plan : Frises et PavagesI Frises → I-2 Groupe discret, groupe ponctuel

Définition

Un groupe de symétrie d'un ensemble Is(F) est discret s'il existe des réels strictement positifs m 1 et m 2 tel que
  1. pour toute translation de vecteur v non nul appartenant à Is(F), v>m 1 ;
  2. pour toute rotation d'angle theta appartenant à Is(F), sin(θ)m 2.

Proposition

Si Is(F) est discret et laisse fixe un point A, il est fini.

Proposition

Le groupe d'un ornement linéaire est discret.

Proposition

Soit A un point de P. Le groupe ponctuel Is A(F) d'un ornement linéaire est fini.

Désormais, F est un ornement linéaire dont le groupe des translations T(F) de Is(F) est de la forme u={t nu,n} avec u un vecteur non nul. On fixe une origne O du plan.

Proposition

Soit D O la droite vectorielle de direction u et Δ O la perpendiculaire à D O passant par O. Tout élément de Is(F) est de la forme tgt est une translation et
g{id,s O,s D O,s Δ O}.
Autrement dit, le groupe ponctuel Is ponct(F) de Is(F) est contenu dans le groupe V 4={id,s O,s D O,s Δ O}.
Démonstration
Soit gIs(F) et écrivons g=t wg O avec g O une isométrie fixant l'origne et w un vecteur.
L'isométrie gt ug 1 transformée de t u par g est égale à t g O(u). Comme t u appartient à Is(F), t g O(u) aussi ; donc g O(u)u. Comme g O(u) et u ont même norme, g O(u) est u ou u.
La droite vectorielle D O de direction u est donc stable par g O ; il en est de même de sa perpendiculaire Δ O ( g O conserve des angles). Donc, g O peut être : l'identité, la symétrie centrale s O par rapport à O, la réflexion axiale par rapport à D O ou la réflexion axiale par rapport à Δ O.

Les sous-groupes de V 4 sont faciles à décrire. Il y en a cinq ;
  1. Is ponct(F)={id} ;
  2. Is ponct(F)={id,s D O} ;
  3. Is ponct(F)={id,s Δ O} ;
  4. Is ponct(F)={id,s O} ;
  5. Is ponct(F)={id,s O,s D O,s Δ O}.

Exercice

Quel est le groupe ponctuel de chacune des frises suivantes :
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Voir aussi Groupe ponctuel d'une frise

I-3 Droite affine invariante de la bande

Géométrie du plan : Frises et PavagesI Frises → I-3 Droite affine invariante de la bande

Proposition

Il existe au moins une droite affine D parallèle à u invariante par Is(F).

Démonstration
Les droites invariantes par le groupe des translations T(F) de Is(F) sont les droites de direction D O. Nous allons donc chercher la droite D parmi ces droites. Elle doit être invariante par les isométries de Is(F) qui ne sont pas des translations.
Prenons une isométrie g de Is(F) qui n'est pas une translation. Elle s'écrit
g=t vg O
avec g O=s O, s D O, s Δ O avec D O de direction u et Δ O perpendiculaire à D O. Faisons quelques remarques sur les isométries que l'on peut obtenir et les droites qu'elles laissent invariantes :
  • g=t vs O : g est une symétrie centrale de centre un point A ; toute droite passant par A et de direction D O est invariante par g ;
  • g=t vs D O=t ws D avec D droite de direction D O et w parallèle à D (réflexion ou symétrie glissée) ; on a alors g 2=t 2w. Donc 2w est un multiple de u. La droite D est stable par g.
  • g=t vs Δ O=t ws Δ avec Delta droite de direction Δ O et w parallèle à Delta ; on a alors g 2=t 2w. Donc 2w appartient à T(F) ; comme il est perpendiculaire à u, il est nul. Autrement dit, g est une réflexion d'axe Delta perpendiculaire à D O. Toute droite de direction D O est stable par g.

Reprenons maintenant les cinq cas de groupes ponctuels possibles.
  • Is ponct(F)={id} : toute droite de direction D O est invariante par Is(F).
  • Is ponct(F)={id,s Δ O} ; Is(F) est engendré par T et par s Δ pour Delta une droite de direction Δ 0 ; toute droite de direction D O est invariante par Is(F).
  • Is ponct(F)={id,s O} ; toute droite de direction D O est invariante par Is(F).
  • Is ponct(F)={id,s D O} ; il y a dans Is ponct(F) une réflexion ou une symétrie glissée d'axe une droite D de direction D O. Cette droite est invariante par les translations de Is(F) et par s D donc par Is(F).
  • Is ponct(F)={id,s O,s D O,s Δ O} ; Is(F) est engendré par T et par t ws D, s Δ et s A avec w parallèle à D O, D une droite de direction D O, Delta perpendiculaire à D et A un point. Montrons que la droite D est stable par Is(F) : il reste à montrer que D est stable par s A (pour les autres, on utilise les cas précédents). Pour cela, il suffit de montrer que A appartient à D. L'isométrie suivante appartient à Is(F) :
    s At ws D=s As Dt w=s Δt zt w
    avec z parallèle à Delta. Son carré est égal à t 2z et 2zu. Donc z=0 et AD.

I-4 Classification


Théorème

Il y a exactement 7 groupes de symétrie d'ornements à conjugaison près par une similitude.
On choisit une droite D invariante par Is(F) parallèle à uT(F).
  • F1
    Is ponct(F)={id}.
    Pas grand chose à dire. Le groupe des isométries se réduit au groupe des translations. Il n'y a pas d'axes de symétrie, pas de centre de rotation.

    .

  • F1m
    Is ponct(F)={id,s Δ O}.
    Une isométrie qui n'est pas une translation est de la forme s Δ avec Delta une droite perpendiculaire à D. Les éléments de Is(F) sont de la forme t nus Δ ou t nu, autrement dit t nus Δ ε avec ε=0 ou 1. Les axes de symétrie sont distants de u/2. On peut décrire entièrement la loi de groupe par :
    (t nus Δ ε)(t mus Δ η)=t (n+(1) εm)us Δ ε+η.


    .

  • F1lm
    Is ponct(F)={id,s D O} et il existe une réflexion axiale s D dans Is(F).
    Les éléments du groupe sont de la forme t nus D ε avec n et epsilon égal à 0 ou 1. La loi de groupe sur Is(F) est décrite par
    (t nus D ε)(t mus D η)=t (n+m)us D ε+η.
    Le groupe est donc commutatif.

    .

  • F1lg
    Is ponct(F)={id,s D O} et il n'existe pas de réflexion axiale dans Is(F).
    Par contre, la réflexion glissée t v/2s D appartient à Is(F). Les éléments de Is(F) sont les t nv et les t (n+1/2)vs D pour n. Le groupe est commutatif.

    .

  • F2
    Is ponct(F)={id,s O}.
    Les isométries qui ne sont pas des translations sont de la forme t nus A, c'est-à-dire des symétries centrales s B par rapport à un point B. On a s As B=t 2BA. Donc les centres de rotation consécutifs sont à la distance u/2. La loi de groupe est de nouveau donnée par
    (t nus Δ ε)(t mus Δ η)=t (n+(1) εm)us Δ ε+η.
    avec epsilon et eta égaux à 0 ou à 1.

    .

  • F2mm
    Is ponct(F)={id,s O,s D O,s Δ O} et il existe une réflexion axiale s D dans Is(F). On a aussi dans Is(F) une réflexion axiale s Δ et une symétrie centrale de centre A avec A l'intersection de Delta et de D.

    .

  • F2mg
    Is ponct(F)={id,s O,s D O,s Δ O} et il n'existe pas de réflexion axiale d'axe D 0 dans Is(F).
    Par contre, il existe une réflexion axiale s Δ et une symétrie centrale de centre A. Les axes Delta sont distants de u/2. On a
    s As Δ=t ws D
    avec w=2AH avec H la projection de A sur Delta.

    .


Exercice

A partir des lettres de l'alphabet, dessiner un ornement de chaque type.

I-5 Nomenclature

Expliquons les principes de la nomenclature pour les frises (il y a diverses nomenclatures, le tout est d'en choisir une et de la comprendre, elles fonctionnent toutes sur le même principe !) On fait aussi le cas des pavages (le groupe des translations est engendré par deux translations de vecteurs non colinéaires).
On choisit les axes de manière à ce que les axes de symétrie soient perpendiculaires à l'un ou l'autre. Il y a plusieurs caractères. Leur signification est :
  1. une lettre f (en dimension 1) , p, c (en dimension 2) :
    • f quand les translations sont dans une seule direction (groupe de translation isomorphe à );
    • p si les centres de rotation se trouvent sur les axes de symétrie;
    • c si les centres de rotation ne se trouvent pas sur les axes de symétrie.
  2. un entier n indiquant le plus grand ordre de rotation
  3. un symbole indiquant un axe de symétrie perpendiculaire à l'axe des x
    • m pour symétrie miroir,
    • g pour symétrie glissée
    • l pour rien
  4. (cas des pavages) un symbole indiquant un axe de symétrie faisant un angle alpha (différent de l'angle droit) avec l'axe des x.
    • m pour symétrie miroir,
    • g pour symétrie glissée
    • l pour rien

A partir de ces règles, on peut simplifier en supprimant ce qui n'est pas essentiel, c'est-à-dire n'apportera pas de confusion possible ... On enlève par exemple le 1 en deuxième position, le l en dernière position (puisqu'il indique qu'il n'y a rien) ... On remplace aussi de temps en temps le l par un 1 ...à conjugaison près par une similitude} ? Pratiquement, si vous avez deux frises de même groupe dans le plan, quelles similitudes vont intervenir ? Donner un exemple : faire deux dessins de frises ayant le même groupe de symétrie sur votre feuille et indiquer la similitude en question.  

Exercice

Justifier l'expression Il y a exactement. Vérifier qu'en effet on ne peut pas passer de l'un des 7 groupes à un autre par conjugaison par une similitude.
  {comment}

II Réseaux et pavages

Géométrie du plan : Frises et Pavages → II Réseaux et pavages

II-1 Définition d'un pavage


Nous allons étudier ici les pavages réguliers. On parle alors simplement de pavé au lieu de pavé fondamental. Nous reviendrons plus tard sur ce que signifie les classifier.
Dans le paragraphe suivant, nous allons étudier le cas particulier où le pavé fondamental est un parallélogramme, c'est-à-dire nous intéresser d'abord au sous-groupe des translations.

II-2 Réseaux


Passons à un pavage Pav. Soit T le sous-groupe des translations et L le réseau associé. Le groupe du pavage Is(Pav) est contenu dans dans le groupe Is(L) du réseau L.

II-3 Classifions les pavages

II-1 Définition d'un pavage


Définition

Des sous-ensembles de (qu'on appelle alors pavés) réalisent un pavage de P si les conditions suivantes sont vérifiées :
  • Chacun de ces sous-ensembles est un fermé borné (compact) d'intérieur non vide.
  • La réunion de ces sous-ensembles est égale à P.
  • Deux quelconques de ces sous-ensembles ont toujours une intersection vide, ou une intersection contenue dans leur frontière.

Ne pas hésiter à donner aux mots frontière et intérieur leur sens en langage naturel.

Définition

Un pavage est régulier si tous les pavés sont isométriques.
Une autre définition directe possible est la suivante :
Définition
On appelle pavage régulier du plan la donnée d'un compact (appelé pavé fondamental) P de 2, d'intérieur non vide et d'un sous-groupe G du groupe des isométries de 2 tel que
  1. gGg(P)= 2
  2. si g(P)h(P) est d'intérieur non vide, g(P)=h(P).

Le groupe des isométries du pavage est le groupe des isométries de 2 laissant le pavage inchangé.
On utilisera aussi des pavage colorié : dans ce cas et sans donner de définitions précises et lourdes, les couleurs doivent être transformées par les isométries.

II-2 Réseaux

II-2-1 Définition

Soient deux vecteurs u et v du plan affine 2 muni du repère affine (O,i,j). Dessinons l'ensemble des points M de 2 tels que
OM=nu+mv
avec n et m entiers relatifs. On appelle ces points des noeuds et leur ensemble un réseau. Les vecteurs du réseau sont les vecteurs nu+mv. On dit que (u,v) est une base du réseau.
Le pavé (maille du réseau) formé des points xu+yv avec x et y compris entre 0 et 1 et le groupe de symétrie formé des translations nu+mv avec n et m entiers relatifs forment un pavage du plan.

 

Exercice

Dessiner les réseaux suivants et justifier leur nom :
  • (i,i+2j) : réseau oblique
  • (i,2j) : réseau rectangle
  • (i,12i+2j) : réseau losange
  • (i,13i+223j): réseau losange
  • (i,j) : réseau carré
  • (i,12i+32j) : réseau hexagonal ou équilatéral

 

II-2-2 Base réduite d'un réseau

Un réseau a de nombreuses bases. On aimerait trouver des bases qui soient le plus orthonormées possibles : norme des vecteurs petite et angle des vecteurs le plus proche possible de π/2.

Proposition

Soit L un réseau. On peut trouver une base (u,v) de L telle que
  1. vu.
  2. 0u,vu 22.
Une telle base est appelée base réduite. En particulier, l'angle des vecteurs u et v est compris entre 60 degrés et 90 degrés.

Proposition

Soit L un réseau et (u,v) une base réduite. Alors, u est de norme minimale parmi les vecteurs de L et v est de norme minimale parmi les vecteurs de L différents de ±u.

Démonstration
Soit (u,v) une base réduite. Posons
A=u,vu 212.
Si w est un vecteur de L et w=nu+mv,
  1. wu : Si n ou m est nul, cela est clair. Sinon, on développe :
    w 2=n 2u 2+m 2v 2+2nmAu 2
    n 2u 2+m 2v 2nmu 2
    =(n 2+m 22nm)u 2+m 2(v 2u 2)+nmu 2
    nmu 2u 2.
    De plus, on a l'égalité si et seulement si nm=1, v=u et A=12, autrement dit pour les vecteurs ±(uv) dans le cas où l'angle de u et de v est de 60 degrés.
  2. si m0, wv : Si n=0, cela est clair. Sinon,
    w 2m 2(v 2u 2)+u 2=(m 21)(v 2u 2)+v 2v 2
    De plus, on a l'égalité si et seulement si m 2=1, nm=1 et A=12, autrement dit pour les vecteurs ±(uv) dans le cas où l'angle de u et de v est de 60 degrés. Sans oublier bien sûr les vecteurs ±v et éventuellement ±u.

Pour construire une base réduite, quelques idées à comprendre d'abord :
Exercice [ Retrancher à v un multiple de u ]
Vérifier que si deux vecteurs u et v font un angle theta compris entre 0 et π/3, alors w=uv est de norme plus petite que v et l'angle entre u et w est plus grand que l'angle theta.




 
Exercice [ Comment choisir ce multiple ]
Comment trouver r entier pour que vru soit de norme minimale parmi les vecteurs de la forme vku pour k entier ? Étudier la fonction f définie par f(x)=vxu 2. Que peut-on dire alors de l'angle de u avec v, c'est-à-dire du produit scalaire u,v ?

 

Algorithme

On part des deux vecteurs de base du réseau et on appelle u celui qui est de plus petite norme et v l'autre. Soit r l'entier le plus proche de s=v,u/u 2. Ainsi, rs<12 et
12vru,uu 2=sr12.
  1. Si la norme de vru est plus petite que celle de u, on remplace v par u et u par vru.
    1. Si le produit scalaire de u et de v (les nouveaux) est négatif, on remplace v par v.
    2. On recommence.
  2. Sinon ( vruu), on choisit v=vru ou v+ru, de manière à ce que 0v,u ; alors, (u,v) est une base réduite car
    0v,u12u 2.

Proposition

  1. si v=u, les seuls vecteurs de norme u sont ±u et ±v ainsi que ±(uv) si l'angle de u et de v est ±π/3.
  2. si v>u, les seuls vecteurs de norme u sont ±u. Les seuls vecteurs de norme v sont ±v.

Démonstration
Supposons v=u et soit A=u,v/u 2. Les vecteurs ±u et ±v conviennent bien sûr. Pour m et n différents de 0, on a
u+mv 2u 2=n 2+m 2+2mnA
(n 2+m 22mn)+mn1.
Pour avoir l'égalité, il faut que n=m=1 et que 2x=1, mn=1. On obtient alors les vecteurs ±(uv).
Supposons maintenant v>u. On a déjà vu que les seuls vecteurs de norme u sont ±u.

II-2-3 Condition cristallographique

Géométrie du plan : Frises et PavagesII Réseaux et pavagesII-2 Réseaux → II-2-3 Condition cristallographique

Proposition

Soit L un réseau.
  1. Toute rotation du groupe de symétrie d'un réseau est d'ordre 1, 2, 3, 4 ou 6.
  2. Soit H un sous-groupe fini du groupe de symétrie de L. Alors, H est un des groupes C n, D n pour n=1, 2, 3, 4 ou 6.

Ainsi, les ordres possibles de H sont 1, 2, 3, 4, 6, 8 ou 12.
Nous utiliserons dans la démonstration le principe de conjugaison : L'image du centre de rotation d'une rotation d'un groupe de symétrie par une autre rotation du groupe de symétrie est encore un centre de rotation d'un élément du groupe.
Démonstration
Soit G le groupe de symétrie d'un réseau. Soient deux rotations r P et r Q appartenant à G de centre respectivement P et Q et d'ordre 2. Prenons-les de manière que la distance de P à Q soit minimale [demande un mot d'explication]. Soit n l'ordre de r P. L'isométrie r Pr Qr P 1 est une rotation de centre R=r P(Q). L'angle QPR^ est égal à 2π/n et le triangle est isocèle en P. On a donc QR=2PQsin(π/n). Comme QR est supérieur ou égal à PQ, on a sin(π/n)1/2, donc π/nπ/6 et n6.
Donc n est égal à 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Éliminons le cas n=5.
Supposons qu'il y ait une rotation d'ordre 5 et prenons deux centres P et Q d'ordre 5 à distance minimum. Si on transforme le centre de rotation Q par la rotation de centre P et ses puissances, on obtient cinq points sur le cercle de centre P et de rayon PQ. On recommence en transformant les centres de rotation P par les rotations de centre Q. Un petit calcul (ou un dessin) montre que l'on peut alors trouver deux centres de rotation plus proches que ne le sont P et Q, contradiction.

Remarque
Les cas n=2, 3, 4, 6 ne peuvent pas être éliminés par cet argument :
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7

II-2-4 Les types de réseaux

Soit ( u, v) une base réduite. Notons theta l'angle de u et de v. Il est compris entre π/3 et π/2 (entre 60 et 90 degrés).
  • réseau oblique : aucune relation spéciale entre les vecteurs
  • réseau rectangle : u et v sont perpendiculaires ;
  • réseau losange : u et v sont de même longueur ;
  • réseau carré : u et v sont perpendiculaires et de même longueur ;
  • réseau hexagonal ou équilatéral : u et v sont de même longueur et forment un angle de 60 degrés ;

Dans chacun de ces cas, calculons le groupe des isométries Is O(L) de L laissant fixe l'origine. On note theta l'angle des vecteurs u et v pour (u,v) une base réduite.

Proposition

Le groupe Is O(L) est déterminé de la manière suivante :
  • réseau oblique, p1
    uv, theta quelconque. Le groupe Is O(L) est un groupe cyclique d'ordre 2 (type C 2 ) :
    Is O(L)={id,s O}.
    (contenu dans O 2 +()).
    Exemple


  • réseau rectangle, p1mm
    uv, θ=π/2. Le groupe Is O(L) est le groupe d'un rectangle, il est diédral d'ordre 4 ( D 2, mais on le connait aussi sous le nom de groupe de Klein V 4) :
    Is O(L)={id,s O,s u,s v}.

    Exemple


  • réseau losange, p6mm
    u=v, theta quelconque. Le groupe de symétrie Is O(L) est le groupe d'un losange, il est diédral d'ordre 4 ( D 2=V 4) :
    Is O(L)={id,s O,s 2uv,s 2vu}

    Exemple

  • réseau carré, p4mm
    u=v, θ=π/2. Le groupe Is O(L) est le groupe d'un carré, c'est un groupe diédral d'ordre 8 ( D 4) :
    Is O(L)={id,r π/2,s O,r π/2 3,s u,s v,s u+v,s uv}

    Exemple
    translate

  • réseau hexagonal ou équilatéral, c1mm
    u=v, θ=π/3. Le groupe Is O(L) est le groupe d'un hexagone, il est diédral d'ordre 12 ( D 6) :
    Is O(L)={id,r π/3,r π/3 2,s O,r π/3 4,r π/3 5,s u,s v,s 2uv,s 2vu}

    Exemple


Démonstration
Rappelons, que u et v ont été choisis de manière à ce que uv et que 0u,vu 22.
Le groupe Is O(L) ccontient toujours l'identité et la symétrie centrale s O de centre O.
Soit g une isométrie laissant fixe O.
  1. Supposons d'abord que u<v. Les seuls vecteurs de norme u sont ±u. Donc, g(u)=±u. On pose g 0=g ou s Og, de manière à ce que g 0(u)=u. Que peut-on dire de g 0(v) ?
    Lorsque u,v est différent de u 22, les seuls vecteurs de norme égale à celle de v sont ±v, donc g 0(v)=±v. On a d'autre part g 0(v),u=g 0(v),g 0(u)=v,u.
    1. Si v,u0, on a nécessairement g 0(v)=v. Donc g 0 est l'identité et g est soit s 0 ou l'identité.
    2. Si v,u=0, on peut avoir g 0(v)=v ou v. Donc g 0 est égale à id ou s v et g est égale à id, s O, s v ou à s Os v=s u.
    3. Si u,v est égal à u 22, on peut aussi avoir g(v)=uv puisque
      g(v),g(u)=uv,u=(11/2)u=v,u
      et g est alors égale à la réflexion par rapport à la droite vectorielle de direction u. Finalement, g peut être égale à id, s O, s v ou à s Os v=s u. Dans ce cas, le parallélogramme construit à l'aide des vecteurs v, uv (qui forment une autre base de L) est un losange. Le parallèlogramme construit à partir de la base réduite (u,v) n'est ni un rectangle, ni un losange ...
  2. Supposons maintenant que u=v.
    1. Lorsque u,v est différent de u 22, ce qui signifie ici que l'angle de u et v est différent de 60 degrés ( π/3), les quatre vecteurs u, u, v, v sont de même norme. En utilisant la condition de conservation du produit scalaire, on vérifie qu'on peut obtenir g(u)=±u, g(v)=±v ou g(u)=v, g(v)=±u, c'est-à-dire id, s O, s u, s v, s uv, s u+v.
    2. Lorsque u,v est égal à u 22, c'est-à-dire lorsque l'angle de u et v est égal à 60 degrés, les six vecteurs u, u, v, v, uv et u+v sont de même norme que u. Si g(u)=v, g(v),v=v,u=1/2u 2. On essaye les cinq possibilités restantes pour g(v) ; seules sont possibles g(v)=u (déjà trouvée) ou g(v)=vu, ce qui donne la rotation d'angle π/3. On fait de même pour g(u)=uv et on trouve sans étonnement les rotations d'angle kπ/3 avec k=0,...,5.

II-2-5 Que signifie classifier ?

Nous venons de calculer le groupe des isométries laissant fixe un réseau L et l'origine O. On a obtenu quatre groupes possibles non isomorphes : C 2, D 2, D 4 et D 6. On a d'autre part obtenu deux fois le groupe D 2. Comment peut-on les distinguer ? On a plusieurs manières de dire que deux réseaux sont équivalents mais ces manières ne sont pas équivalentes.
Les notations sont perso ...

Définition

Deux réseaux L 1 et L 2 sont (lin)-équivalents s'il existe une application linéaire g de P dans P tels que g(L 1)=L 2.

Pas très intéressant : deux réseaux sont toujours (lin)-équivalents.

Définition

Deux réseaux L 1 et L 2 sont (sim)-équivalents (semblables) s'il existe une similitude g de P dans P tels que g(L 1)=L 2.

Très restrictif : en "déplaçant" le réseau dans le plan euclidien (en le translatant, en le faisant tourner, en zoomant, en le reflétant dans un miroir ...), on obtient un réseau équivalent et simplement comme cela.

Définition

Deux réseaux L 1 et L 2 sont (groupe)-équivalents si leurs groupes d'isométries linéaires Is O(L 1) et Is O(L 2) sont isomorphes.

Un peu mieux : il y a maintenant quatre types de réseaux à "groupe-équivalence près" correspondant aux groupes C 2, D 2, D 4 et D 6.

Définition

Deux réseaux L 1 et L 2 sont (lin-groupe)-équivalents s'il existe une application linéaire g de P dans P telle que g(L 1)=L 2 et telle que
gIs O(L 1)g 1=Is O(L 2).

Cette définition permet de retrouver les cinq types de réseaux oblique, rectangle, carré, losange et hexagonal. Si vous disposez de deux réseaux de même type, pour montrer qu'ils sont (lin-groupe)-équivalents, on choisit pour g une application linéaire envoyant une base réduite de l'un sur une base réduite de l'autre. Mais il reste quelque chose à montrer : le réseau losange L los et le réseau rectangle L rect ne sont pas équivalents, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'application linéaire g telle g(L los)=L rect et telle que
gIs O(L rect)g 1=Is O(L los).

Démonstration
Soit s une réflexion de Is O(L rect), la droite invariante est de direction un des vecteurs du réseau L rect. Si g existait, alors gsg 1 serait une réflexion par rapport à une droite de direction un des vecteurs du réseau L los. Mais une telle réflexion n'existe pas dans Is O(L los).

Soit T(L) le groupe des translations de Is(L), c'est-à-dire le groupe des t w pour wL.
Les définitions précédentes sont encore valables en remplaçant Is O(L) par Is(L) et donnent le même résultat. Cela vient de la proposition suivante :

Proposition

Soit gIs(L). Alors, g=t wg O avec wL et g OIs O(L). Autrement dit, le groupe ponctuel de L est égal au sous-groupe de Is(L) formé des isométries laissant fixe O.

Démonstration
Soit gIs(L) et A l'image par g de l'origine O. Ce point A est un point du réseau, donc le vecteur w appartient à L. Soit g=t wg. Comme t w et g laissent invariant L, il en est de même de g. De plus g(O)=t w(A)=O, ce qui démontre que gIs(L).

Cette proposition peut sembler évidente. Cependant, le fait que L est un réseau joue un rôle important. Cela ne serait pas vrai pour n'importe quel ensemble à la place de L.

II-3 Classifions les pavages

II-3-1 Le groupe ponctuel est contenu dans celui d'un réseau oblique

Géométrie du plan : Frises et PavagesII Réseaux et pavagesII-3 Classifions les pavages → II-3-1 Le groupe ponctuel est contenu dans celui d'un réseau oblique
  • p1
    Is ponct={Id}. Le pavé de translation est un pavé de base. On a donc fait tomber la symétrie par rapport à celle du réseau.
    . . .



    .
  • p2
    Is ponct(Pav)={Id,s O} Is(P) contient une symétrie centrale s O pour un point O. Prenons ce point pour origine.
    Les éléments de Is(Pav) sont de la forme t ws O ε avec ε=0 ou 1. Le produit de deux éléments se calcule de la manière suivante
    s A 2=id
    t wt z=t w+z
    s Ot w=t ws O
    (t ws O ε)(t zs O η)=t wzs O η+ε

    Invariants de symétrie : les centres de rotation (symétrie) forment un réseau homothétique de T de rapport 1/2.
    Les éléments qui ne sont pas des translations sont des symétries centrales par rapport à un point A de 12L.
    . . .



    .

    Démonstration
    Soient A et B deux points tels que s A et s B appartiennent à G. Alors s As B doit appartenir à T. Comme s As B=t 2AB, on a nécessairement ABL/2. D'autre part, s O appartient à G.

II-3-2 Le groupe ponctuel est contenu celui d'un réseau rectangle

Géométrie du plan : Frises et PavagesII Réseaux et pavagesII-3 Classifions les pavages → II-3-2 Le groupe ponctuel est contenu celui d'un réseau rectangle

Prenons un rectangle de côté horizontal u et de côté vertical v. Le groupe Is ponct(Pav) est contenu dans le groupe du rectangle {Id,s O,s u,s v}.
  • p1m
    Is ponct(Pav)={Id,s u} et il existe dans Is(Pav) une réflexion axiale d'axe une droite D de direction u.
    Le groupe {id,s D} est un sous-groupe de Is(Pav).
    Les éléments de Is(Pav) sont de la forme t ws O ε avec ε=0 ou 1.
    Le produit de deux éléments se calcule de la manière suivante
    (t nu+mvs Dε)(t nu+mvs D η)=t (n+n)u+(mm)vs D η+ε

    Les éléments de Is(Pav) qui ne sont pas des translations sont toutes des réflexions d'axes de direction u distants de multiples entiers de v/2.
    . . .



    .
    p1m

    {proof} On a les relations s Dt us D=t u s Dt vs D=t v.
    {proof}
  • p1g
    Is ponct(Pav)={Id,s u} et il n'y a pas de réflexion axiale d'axe porté par u dans Is(Pav). Par contre, il y a dans Is(Pav) un élément de la forme t aus D pour D une droite parallèle à u et a non entier. On a alors
    (t aus D) 2=t 2auT,
    ce qui implique que 2a est un entier. La droite D est un axe de réflexion glissée.
    Alors, t (n+1/2)us u appartient à Is(Pav) pour tout entier n. On a donc une infinité d'axes de glissage parallèles et distants d'un multiple entier de u.
    Les éléments de Is(Pav) qui ne sont pas des translations sont des composés d'une symétrie par rapport à des axes de direction u, c'est-à-dire d'une "symétrie-translation". Ces axes sont distants de multiples entiers de v/2.
    . . .



    .

Dans les trois cas suivants, le groupe ponctuel est {id,s u,s v,s O}. La discussion va porter sur le fait qu'il y a ou non des symétries dans Is(Pav) et sur la position du centre O par rapport aux axes de symétrie ou de symétrie-translation. En effet, le composé d'une symétrie centrale et d'une translation est encore une symétrie centrale. Les réflexions s u ou s v se relèvent soient en des réflexions soit en des symétries glissées.
  • p2mm
    Is ponct(Pav)={id,s u,s v,s O} et il existe une réflexion s D dans Is(Pav)
    avec D de direction u et un centre A appartenant à D.
    Le composé s D=s As D est une réflexion d'axe la perpendiculaire D à D passant par A.
    L'ensemble {id,s A,s D,s D} est un sous-groupe de Is(Pav).
    Le produit de deux éléments se calcule de la manière suivante s Dt us D=t u s Dt vs D=t v s Dt us D=t u s Dt vs D=t v.
    Is(Pav) contient une infinité de réflexions d'axes de direction u, équidistantes de multiples entiers de u/2. Il existe aussi une infinité de réflexions d'axes parallèles à v et elles sont équidistantes de multiples entiers de v/2. Les centres de symétrie sont à l'intersection de ces axes de direction u et v.
    . . .



    .
  • p2mg
    Il existe dans Is(Pav) des réflexions s D par rapport à une droite D de direction u mais aucun centre de symétrie des symétries centrales s A qui sont dant Is(Pav) ne se trouve sur une de ces droites D.
    Il n'y a pas de symétries par rapport à des droites D de direction v mais seulement des symétries glissées d'axe de glissage D.
    Le composé de s A par s D est une symétrie glissée t 2AHs DH est la projection de A sur D.
    La distance d'un axe de symétrie d'une réflexion ou d'un réflexion glissée à un centre de symétrie est un multiple impair de 1/4.
    . . .



    .
  • p2gg
    Aucune réflexion axiale n'est dans Is(Pav). Ainsi, Is(Pav) ne contient que des glissages d'axe parallèle à u ou à v. Les axes sont distants de multiples entiers de u/2. Les centres de symétrie ne se trouvent pas sur les axes.
    . . .



    .

II-3-3 Le groupe ponctuel est contenu dans le groupe du losange

Géométrie du plan : Frises et PavagesII Réseaux et pavagesII-3 Classifions les pavages → II-3-3 Le groupe ponctuel est contenu dans le groupe du losange
Le losange est construit à partir de deux vecteurs u et v de norme 1. Le groupe de symétrie du losange est d'ordre 4 formé de l'identité, de la symétrie centrale par rapport au centre du losange et des symétries par rapport aux deux diagonales : Is ponct(Pav)={Id,s O,s u+v,s uv}. Ce groupe a trois sous-groupes différents de lui-même. Le cas où Is ponct(Pav) est d'ordre 1 ou est égal à {Id,s O} a déjà été traité.
  • c1m
    Is ponct(Pav)={Id,s u+v}. Il y a toujours dans Is(Pav) une réflexion axiale de direction u+v. Les autres éléments de G qui ne sont pas des translations sont des réflexions glissées. On trouve qu'il y a toujours des réflexions d'axe u+v. On a aussi toujours des réflexions glissées d'axe uv.
    . . .



    .
  • c2mm
    Is ponct(Pav)={Id,s O,s u+v,s uv}. Le groupe Is(Pav) contient toujours au moins une réflexion axiale de direction u+v et une réflexion axiale de direction uv et des glissages pour ces directions.
    Les intersections des axes des symétries ainsi que celles des axes de glissages sont centre de symétrie.
    . . .



    .

II-3-4 Le groupe ponctuel est contenu dans le groupe du carré

Géométrie du plan : Frises et PavagesII Réseaux et pavagesII-3 Classifions les pavages → II-3-4 Le groupe ponctuel est contenu dans le groupe du carré

Il est d'ordre 8. Il est composé de id, r π/2, r π/2 2=s O, r π/2 3, s u, s v, s u+v, s uv (réflexions par rapport aux médianes, ou diagonales).
Il possède trois sous-groupes distingués. Deux d'entre eux sont isomorphes à V 4=/2×/2 : H 1={id,s O,s u,s v} et H 2={id,s O,s u+vs uv}.
Le troisième est cyclique d'ordre 4 : {id,r π/2,r π/2 2=s O,r π/2 3}.
Le cas où Is ponct(Pav) ne contient pas de rotation d'ordre 4 a été étudié dans le cas du rectangle.
  • p4
    Is ponct(Pav) est le sous-groupe contenant les rotations d'angle π/2. Le groupe de symétrie Is(Pav) contient alors une rotation d'ordre 4. Les centres de rotation sont des centres de symétrie. Mais il y en a d'autres.

. . .


.

Dans les deux cas suivants, Is ponct(Pav) est le groupe du carré tout entier.
  • p4mm
    Is ponct(Pav)=D 4 et il existe une réflexion axiale dans Is(Pav) dont l'axe passe par un centre de rotation. Le groupe de symétrie Is(Pav) contient alors une rotation d'ordre 4. Il existe d'autre part toujours des réflexions (c'est un cas particulier du losange).
    Les centres de symétrie sont alors les intersections des axes de réflexions, les intersections des axes de glissage, les centres de rotations.
    . . .



    .
  • p4gm
    Is ponct(Pav)=D 4 et l'axe d'aucune réflexion axiale ne passe par un centre de rotation, les centres de rotation sont par contre à l'intersection des axes de glissage.
    . . .



    .

II-3-5 Le groupe ponctuel est contenu dans le groupe du réseau hexagonal

Géométrie du plan : Frises et PavagesII Réseaux et pavagesII-3 Classifions les pavages → II-3-5 Le groupe ponctuel est contenu dans le groupe du réseau hexagonal

Le réseau équilatéral est construit à partir des vecteurs u et v avec v=(1/2,3/2). L'angle entre u et v est donc de π/3. C'est un cas particulier du réseau losange. Si G est le centre de gravité de l'hexagone, Le groupe de symétrie du réseau équilatéral (ou hexagonal) est formé
  • des rotations d'angle π/3, 2π/3, pi, 4π/3, 4π/3
  • des réflexions par rapport aux diagonales (de direction u+v et uv)
  • des réflexions par rapport aux médianes (de direction u et u)

Is ponct(Pav)={id,r π/3,r π/3 2=s G,r π/3 3,r π/3 4,r π/3 5,s u,s v,s u+v,s uv}
  • p3
    Is ponct(Pav) est cyclique d'ordre 3. Dans Is(Pav), il y a une rotation d'angle 2π/3 de centre le centre de gravité du triangle équilatéral. Is ponct(Pav)={id,r 2π/3,r 2π/3 2}
    . . .



    .
  • p6
    Is ponct(Pav) est cyclique d'ordre 6. Dans Is(Pav), il y a la rotation d'angle π/3 de centre O. Is ponct(Pav)={id,r π/3,r π/3 2,r π/3 3,r π/3 4,r π/3 5}.
    . . .



    .
  • p3lm
    Is ponct(Pav) est d'ordre 6 et égal à {id,r 2π/3,r 2π/3 2,s u,s v,s uv}
    Is(Pav) contient des réflexions par rapport à des droites parallèles à u et à v et se coupant en O. Ces deux réflexions engendrent un groupe isomorphe au groupe des permutations d'un ensemble à trois éléments.
    . . .



    .
  • p3ml
    Is ponct(Pav)={id,r 2π/3,r 2sπ/3 2,s u+v,s 2uv,s 2vu}
    . . .



    .
  • p6mm
    Is ponct(Pav)={id,r π/3,r π/3 2=s G,r π/3 3,r π/3 4,r π/3 5,s u,s v,s uv,s u+v,s 2uv,s 2vu}
    . . .



    .

III D'autres groupes de symétrie

Géométrie du plan : Frises et Pavages → III D'autres groupes de symétrie

On connait des dessins ou des objets qui ont une "symétrie" qui n'est pas relié à la géométrie euclidienne du plan. C'est un autre type de groupes qui intervient alors.
Ce qui suit est inachevé ...

III-1 En spirale

III-2 Plan hyperbolique


Pavage de Penrose

III-1 En spirale

Exemple [Spirale]

Plaçons-nous dans le plan complexe où l'on a enlevé l'origine 0. Soit h un nombre complexe non nul. L'application S h:z hz est une bijection. Soit G h le groupe engendré par h dans ou par S h dans l'ensemble des applications bijectives de dans lui-même.
Par exemple, si h=2i, c'est le sous-groupe de formé des nombres complexes
{(2i) n,n}={2 4m,2 4m+1i,2 4m+2,2 4m+3i,m}

III-2 Plan hyperbolique

C'est le disque unité dans . Les segments sont les arcs de cercles ou de droite orthogonaux au bord (Poincaré, 1880). On part d'un polygone hyperbolique convexe P 0 dont les angles sont de la forme α i=2π/d id i est un entier supérieur ou égal à 3. On suppose que
  • soit les entiers d i sont pairs.
  • soit les côtés de P 0 sont égaux.

On construit les polygones symétriques de P 0 par rapport à chacun de ses côtés. On obtient ainsi de nouveaux polygones dont on reprend les symétriques par rapport à leurs côtés et ainsi de suite... Tous ces polygones forment un pavage périodique du plan hyperbolique.
Pavage du plan hyperbolique par des polygones

document sur les frises et les pavages conduisant à la notion de groupe.
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