Le principeLa justification mathématique |
| Un planimètre est formé de deux barres et de même longueur liés par une articulation (en bleu sur le dessin). L'extrémité noire de est fixe tandis que la deuxième extrémité rouge de (la pointe du planimètre) est libre de se déplacer. On met d'autre part sur le bras une roue d'axe rouge sur le dessin. |
Si maintenant on fait parcourir à la pointe du planimètre une courbe fermée sans points doubles, on a la propriété suivante :
Il suffit donc d'étalonner d'abord le planimètre en prenant comme courbe un carré de côté 1 pour pouvoir mesurer l'aire d'une surface plane sur une carte.
Voici un exemple de courbe parcourue par un planimètre. Vous pouvez en changer en cliquant sur l'étoile. |
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D'abord, pour un point
atteignable par le planimètre, il n'y a une seule position possible pour que l'extrémité mobile soit en
à condition d'imposer que l'angle entre les deux bras
et
soit inférieur à
![]() Par le calcul : Si , le point A de l'articulation est de coordonnées
On introduit le champ de vecteurs F qui associe en chaque point M du plan atteint par l'extrémité M du planimètre le vecteur unitaire perpendiculaire au bras S et tel que est direct.
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Ainsi, on désire relier une intégrale curviligne et une aire. Le théorème de Green est fait pour ça.
Pour appliquer ce théorème nous allons montrer que
Donc, qui est proportionnel au nombre de tours qu'a fait la roue lorsque la pointe du planimètre a parcouru toute la courbe est aussi proportionnelle à l'aire de la surface délimitée par C.
fonctionnement du planimètre et formule de Green.
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