Géométrie du plan complexe

Géométrie du plan complexe


Voici un cours sur la géométrie du plan complexe avec des figures et des exercices interactifs. Avant de l'aborder, il serait bon de maîtriser le contenu et les exercices du cours Nombres complexes . Pour l'étude des isométries, il est utile de se référer au document Isométries du plan .
Avertissement
Ce cours est une partie de l'option de géométrie enseignée de 2013 à 2015 au premier semestre de la première année de licence MPI à la Faculté des Sciences d'Orsay de l'université Paris Sud. Il s'agissait de pallier l'absence des transformations au Lycée.

I Géométrie du plan complexe

II Ecriture complexe d'une transformation

III Isométries du plan complexe

IV Homothétie

V Similitudes

VI Etude des similitudes qui ne sont pas des isométries

VII Composition des similitudes

VIII Propriétés des similitudes

I Géométrie du plan complexe

Géométrie du plan complexe → I Géométrie du plan complexe

I-1 Affixe d'un vecteur, angle orienté de deux vecteurs

Géométrie du plan complexeI Géométrie du plan complexe → I-1 Affixe d'un vecteur, angle orienté de deux vecteurs

Définition

Dans le plan orienté par un repère orthonormé (O,u,v), on considère un vecteur w de composantes (x,y) ; on appelle affixe du vecteur w le nombre complexe ω=x+iy.
En particulier, l'affixe de M est égal à celui de OM. L'affixe du vecteur AB est z Bz A quand A et B sont des points d'affixes respectives z A et z B.

Proposition

Soient w et w deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z et z. L'angle orienté (w,w) a pour mesure l'argument de zz=Arg(z)Arg(z).
Pour A et B deux points distincts d'affixes respectives z A et z B et C et D deux points distincts d'affixes respectives z C et z D, l'angle orienté (AB,CD) a pour mesure l'argument de z Dz Cz Bz A.

Démonstration
Par relation de Chasles, on a
(w,w)=(u,w)(u,w)=Arg(z)Arg(z)=Arg(zz).
La formule est démontrée et s'applique à (AB,CD) pour donner :
(AB,CD)=Arg(z Dz Cz Bz A)
Fin de la démonstration

Exercice

Angle et quotient de complexes
Géométrie du plan complexeI Géométrie du plan complexe → I-1 Affixe d'un vecteur, angle orienté de deux vecteurs

I-2 Applications à l'étude de lieux

Géométrie du plan complexeI Géométrie du plan complexe → I-2 Applications à l'étude de lieux
Ces descriptions sont des applications directes des propriétés du module et de l'argument d'un nombre complexes.
Soient A, B et M des points d'affixes respectives a, b et m.
  1. L'ensemble des points M vérifiant ma=mb est la médiatrice de [AB], ensemble des points équidistants de A et B.
  2. L'ensemble des points M vérifiant ma=ab est le cercle centré en A passant par B.
  3. L'ensemble des points M vérifiant m<1 est le disque unité ouvert (c'est-à-dire le disque sans le cercle unité).
  4. L'ensemble des points M vérifiant m1 est le disque unité fermé (c'est-à-dire avec le cercle unité).
  5. L'ensemble des points M vérifiant m+m¯=1 ne contient pas O donc on peut poser m=re iθ ; la condition s'écrit alors 2rcos(θ)=1. L'ensemble des points M vérifiant m+m¯=1 est la droite x=12.
  6. L'ensemble des points M vérifiant mm¯=i ne contient pas O donc on peut poser m=re iθ ; la condition s'écrit alors 2rsin(θ)=1. L'ensemble des points M vérifiant mm¯=i est la droite y=12.
  7. Les points M tel que mamb soit un imaginaire pur sont les intersections du cercle de diamètre [AB] et de la médiatrice de [AB] en effet le triangle ABM soit rectangle isocèle en M.

Exercices

Déterminer le troisième sommet d'un triangle.
  • Triangle isocèle (1)
  • Triangle isocèle (2)
  • Triangle équilatéral
Géométrie du plan complexeI Géométrie du plan complexe → I-2 Applications à l'étude de lieux

II Ecriture complexe d'une transformation

Géométrie du plan complexe → II Ecriture complexe d'une transformation
Un point dans le plan avec un repère orthonormé (O,u,v) peut être déterminé par ses coordonnées (x,y) ou son affixe z=x+iy. Ainsi on peut définir une transformation en donnant pour chaque point les coordonnées de son image ou son affixe.

Définition

Soient deux nombres complexes a (non nul) et b. On s'intéresse aux transformations R a,b et S a,b définies pour z par :
R a,b(z)=az+betS a,b(z)=az¯+b

II-1 Exemples

II-2 Propriétés générales

Géométrie du plan complexe → II Ecriture complexe d'une transformation

II-1 Exemples

Les transformations présentées ici sont définies dans le document Isométries du plan sauf l'homothétie (voir ici ).
On considère M et M d'affixes respectifs z et z.
  • La transformation R 1,b est la translation de vecteur b d'affixe b. En effet, de z=z+b, on tire : MM=b puisque zz est l'affixe de MM.
  • La transformation R 1,2c est la symétrie centrale de centre C d'affixe c. en effet, de z=z+2c, on tire c=z+z2 donc C est le milieu de [MM].
  • Pour λ réel, non nul et différent de 1, et c, R λ,c(1λ) est l'homothétie de centre C d'affixe c et de rapport λ. En effet, pour M=h(C,λ)(M), on a : zc=λ(zc).
  • Pour θ0, l'image de M par la rotation de centre C d'affixe c et d'angle θ est le point M dont l'affixe vérifie :
    zc=e iθ(zc)
  • La transformation S 1,0 est la réflexion d'axe y=0 : z=z¯.
  • Pour θ0 et a=e iθ, S a,0 est la réflexion d'axe ΔΔ est la droite passant par O et tel que ((Ox),Δ)=θ2. En effet, de S a,0(z)=e iθz¯, on tire : S a,0S 1,0=R(e iθ,0).

Exercice


Image par une rotation

II-2 Propriétés générales

Proposition

Soient a0 et b deux nombres complexes.
Les applications R a,b et S a,b multiplient les longueurs par a.
Les applications R a,b conservent les angles orientés.
Les applications S a,b transforment un angle orienté en son opposé.

Démonstration
Soient M et N d'affixes respectives z M et z N ; on note z M et z N les affixes de leurs images.
Pour les applications R, on a : z Nz M=a(z Nz M) d'où z Nz M=a×z Nz M.
Pour les applications S, on a : z Nz M=a(z¯ Nz¯ M)=a×z Nz M¯ d'où z Nz M=a×z Nz M.
Dans les deux cas, la longueur MN est le produit de NM par a.
On suppose M et N distincts et on considère deux autres points distincts P et Q d'affixes respectives z P et z Q ; on note z P et z Q les affixes de leurs images.
Pour les applications R, on a : Argz Pz Qz Nz M=Argz Pz Qz Nz M donc les angles orientés sont conservés.
Pour les applications S, on a : Argz Pz Qz Nz M=Argz¯ Pz¯ Qz¯ Nz¯ M=Argz Pz Qz Nz M donc un angle orienté est transformé en son opposé.
Fin de la démonstration

III Isométries du plan complexe

Géométrie du plan complexe → III Isométries du plan complexe

III-1 Isométries positives

III-1-1 Etude de z=az+b

Proposition

Pour a=1, l'application R a,b est une isométrie positive.
  • Pour a=1 et b=0, R 1,0 est l'identité.
  • Pour a=1, R 1,b est la translation de vecteur b d'affixe b.
  • Pour a1, on pose a=e iθ avec θ0. Alors R a,b est la rotation de centre C d'affixe c=b1a et d'angle θ.
Pour chaque translation ou rotation, on peut trouver un couple de nombres complexes (a,b) telle que son expression complexe soit R a,b et ce couple est unique.

Démonstration
Pour l'essentiel, ces résultats ont été vus dans les exemples ici .
L'équation aux points fixes c=ac+b donne la valeur de c. Si on soustrait cette relation à z=az+b, on obtient zc=a(zc), donc R a,b est la rotation de centre C et d'angle Arg(a).
Fin de la démonstration

III-1-2 Exemple

Soit f l'application du plan complexe définie par :
f(z)=12(1i3)z+2(1+i3)
Comme f(z) est de la forme az+b avec a=e iπ/3 de module 1, f est une isométrie positive qui n'est pas une translation donc c'est une rotation.
Son centre est le point C d'affixe c vérifiant l'équation au point fixe :
c=12(1i3)c+2(1+i3)
donc C a pour affixe 4.
L'angle de f est l'argument de a=12(1i3) soit π3.
Pour conclure, f est la rotation ρ(C,π3)C le point d'affixe 4.

Remarque

Pour résoudre l'équation au point fixe, il est recommandé de savoir calculer un quotient de nombres complexes. On trouvera la méthode à cette page Quotient de nombres complexes

III-2 Isométries négatives

III-2-1 Etude de z=az¯+b

Proposition

Pour a=1, l'application S a,b est une isométrie négative.
  • Pour ab¯+b=0, l'application S a,b est une réflexion d'axe passant par le point C d'affixe b2 et faisant l'angle Arg(a)/2 avec l'axe des abscisses. L'axe est aussi la médiatrice de [OB]B=S a,b(O) est le point d'affixe b.
  • Pour ab¯+b0, l'application S a,b est une symétrie glissée composée de la translation de vecteur d d'affixe d=(ab¯+b)/2 et de la réflexion S a,b avec b=(bab¯)/2. Son axe est la droite passant par C d'affixe b2 et dirigée par d. Il fait un angle de Arg(a)/2 avec l'axe des abscisses.
Pour chaque réflexion ou symétrie glissée, on peut trouver un couple de nombres complexes (a,b) telle que son expression complexe soit S a,b et ce couple est unique.

Démonstration
Dans cette démonstration, on utilise de manière essentielle, la classification des isométries ( Isométries du plan ).
L'isométrie S a,b est négative donc est une réflexion ou une symétrie glissée.
Considérons le point B d'affixe b, image de O par S a,b et le milieu C (d'affixe c=b2) de [OB]. Le point C appartient donc à l'axe de S a,b. Alors S a,b est une réflexion si et seulement si C est fixe par S a,b.
S a,b(b2)=b2b2=a(b2)¯+bab¯+b=0
Donc C est fixe par S a,b si et seulement si ab¯+b=0.
  • Pour ab¯+b=0, l'isométrie S a,b est une réflexion d'axe Δ passant par C.
    Si a vaut 1, l'isométrie S 1,b est une réflexion d'axe parallèle à l'axe des abscisses. En effet, S 1,bS 1,0 est la translation de vecteur b donc les axes de S a,b et S 1,0 sont parallèles.
    Si a est différent de 1, S a,b est la composée R a,bS 1,0 donc la rotation R a,b (qui est une rotation d'angle Arg(a)) est la composée S a,bS 1,0. Donc l'axe de S a,0 fait un angle (Arga)/2 avec l'axe des abscisses, axe de S 1,0.
    Pour toute valeur de a, on a donc ((Ox),Δ)=Arg(a)/2.
    On peut aussi remarquer que, comme S a,b est la réflexion qui échange O et B, son axe est la médiatrice de [OB].
  • Pour ab¯+b0, calculons d=CC pour C, image de C par S a,b.
    d=[a(b2)¯+b]b2=ab¯+b2
    Sur son axe, la symétrie glissée agit comme la translation de vecteur d. L'isométrie S a,b est donc la symétrie glissée composée de la translation de vecteur d et de la réflexion S a,b avec b=(ab¯+b)/2.
    En effet, on a :
    z=az¯+b=[az¯+ab¯+b2]+ab¯+b2
    De plus b vérifie : ab¯+b=0. Donc S a,b est bien une réflexion et bien sûr, son axe passe par C et est dirigé par d.
    On peut remarquer que, l'axe de S a,b étant par définition celui de S a,b, il fait donc un angle de Arg(a)/2 avec l'axe des abscisses.
Fin de la démonstration

Remarque

L'expression complexe de S a,bS a,b est z=z+ab¯+b. On constate que S a,b est une involution (donc une réflexion) si et seulement si ab¯+b est nul. Sinon S a,bS a,b est la translation de vecteur 2d. Ceci est cohérent avec l'étude précédente.

III-2-2 Exemple

Soit g b l'application du plan complexe définie par
g b(z)=22(1+i)z¯+b.
Comme g b(z) est de la forme az¯+b avec a=e iπ/4 de module 1, g b est un antidéplacement, c'est-à-dire une réflexion ou une symétrie glissée. Dans les deux cas, le point C d'affixe c=b2 est un point de l'axe Δ de cet antidéplacement ; en effet C est le milieu de [Og b(O)].
Si b est nul, le point C est confondu avec O qui est fixe et g 0 est une réflexion, son axe Δ est la droite passant par O et faisant un angle de π8 avec l'axe des abscisses (voir ici ).
Si b n'est pas nul, posons b=ke iβ et notons B le point d'affixe b. Soit c=g b(c)=k(12e iπ/4e iβ+e iβ). Le point C est fixe si et seulement si on a c=c. Or on a :
2(cc)=k(e iπ/4e iβ+e iβ)=ke iβ(e iπ/4e 2iβ+1)
Dans le cas où b n'est pas nul, C est fixe si et seulement si β vérifie 2β=π4π[2π] c'est-à-dire β=π8π2[π].
Soit Δ la droite passant par O et faisant un angle de 3π8 avec l'axe des abscisses. On a donc montré que C est fixe si et seulement si B appartient à la droite Δ. On remarque que, dans ce cas, C appartient aussi à Δ.
En résumé si B appartient à Δ, g b admet un point fixe C, c'est la réflexion d'axe Δ passant par O et faisant un angle de π8 avec l'axe des abscisses. Evidemment Δ est la médiatrice de [OB] et donc perpendiculaire à Δ.
Quand B n'appartient pas à Δ, C n'est pas fixe et g b n'a alors aucun point fixe, c'est une symétrie glissée d'axe Delta passant par O et faisant un angle de π8 avec l'axe des abscisses. Le vecteur de la translation est CC, il dirige l'axe et son affixe est d=12k(e iπ/4e iβ+e iβ). On peut écrire
d=12ke iπ/8(e i(π8β)+e i(βπ8))=ke iπ/8cos(π8β)
Dans cette expression, on voit clairement que l'argument de d est π8

III-3 Exercices

IV Homothétie

Géométrie du plan complexe → IV Homothétie

IV-1 Définition

Définition

Soient C un point du plan 𝒫 et λ un réel non nul différent de 1. On appelle homothétie de centre C et de rapport λ, et on note h(C,λ), l'application du plan affine 𝒫 dans lui-même qui à un point M associe le point M tel que CM=λ.CM.
Si c est l'affixe de C, l'écriture complexe de h(C,λ) est z=λ(zc)+c.

Exemple

La symétrie centrale de centre C est l'homothétie de centre C de rapport 1 : σ C=h(C,1). On a déjà vu son expression complexe ici .

IV-2 Figure mobile

Géométrie du plan complexeIV Homothétie → IV-2 Figure mobile
Sur la figure mobile (merci à Chantal Causse), l'image du F bleu par l'homothétie de centre I et de rapport k (qui peut varier grâce au curseur) est le F vert. Vous pouvez déplacer tous les objets rouges.

Géométrie du plan complexeIV Homothétie → IV-2 Figure mobile

IV-3 Homothétique d'un pentagone

Géométrie du plan complexeIV Homothétie → IV-3 Homothétique d'un pentagone
Le polygone hachuré en vert est l'image du grand pentagone orange par l'homothétie de centre F et de rapport k donné par le curseur. On remarque qu'il est régulier et que ses côtés sont parallèles à ceux du grand.

Géométrie du plan complexeIV Homothétie → IV-3 Homothétique d'un pentagone

IV-4 Propriétés

Géométrie du plan complexeIV Homothétie → IV-4 Propriétés

Proposition

Soient λ un réel non nul différent de 1, A, B et C des points du plan.
  1. Une homothétie admet son centre comme unique point fixe.
  2. L'application h(C,λ) multiplie les longueurs par λ. De ce fait, elle conserve les rapports de longueur.
  3. L'inverse de h(C,λ) est h(C,λ 1).
  4. Une homothétie transforme une droite 𝒟 en une droite 𝒟 parallèle 𝒟.
  5. Une homothétie conserve les milieux. Si h est une homothétie, l'image par h du milieu de [AB] est le milieu de [h(A)h(B)].
  6. Les droites invariantes par h(C,λ) sont celles passant par son centre C.
Pour la démonstration de ces propriétés, on renvoie à celles des propriétés de la symétries centrale (voir propriétés des symétries centrales et droites invariantes dans le cours Isométries de plan.)
Géométrie du plan complexeIV Homothétie → IV-4 Propriétés

IV-5 Exercices

V Similitudes

Géométrie du plan complexe → V Similitudes

V-1 Définitions et propriétés

Géométrie du plan complexeV Similitudes → V-1 Définitions et propriétés

Définition

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct, on appelle similitude la composée d'une isométrie et d'une homothétie. La similitude est dite directe si l'isométrie est positive, indirecte si l'isométrie est négative.

Une similitude est donc de la forme R a,b si elle est directe ou S a,b si elle est indirecte.
Réciproquement, l'application R a,b (resp. S a,b) est une similitude directe (resp. indirecte). En effet, quand on la compose par l'homothétie R(a 1,0) de centre O et de rapport a 1, on obtient une isométrie positive (resp. négative).
a 1(az+b)=(aaz+ba)

Proposition

Les similitudes directes du plan complexe sont les transformations R a,b (avec a0 et b des nombres complexes). Les similitudes indirectes du plan complexe sont les transformations S a,b (avec a0 et b des nombres complexes).

Définition

On appelle rapport de la similitude la valeur absolue du rapport de l'homothétie, il vaut a dans l'écriture complexe.
Géométrie du plan complexeV Similitudes → V-1 Définitions et propriétés

V-2 Exemples

Voici quelques exemples de similitudes et une remarque importante sur la décomposition d'une similitude.

Exemples


  • Les isométries sont des similitudes de rapport 1.
  • L'homothétie h(O,2) est une similitude de rapport 2, elle est la composée de h(O,2) et la symétrie centrale σ O.

Remarque

Si a n'est pas réel, R a,b est la composée de la rotation R a,b avec a=aa et b=ba et de l'homothétie de centre O et de rapport a.
R a,b(z)=az+b=a(aaz+ba)=[h(O,a)R a,b](z)
Mais cette composition n'est pas commutative. En effet on a :
[R a,bh(O,a)](z)=aa(az)+ba=az+ba

VI Etude des similitudes qui ne sont pas des isométries

Géométrie du plan complexe → VI Etude des similitudes qui ne sont pas des isométries
Dans cette partie, on étudie les similitudes qui ne sont pas des isométries, c'est-à-dire leur rapport est différent de 1.

VI-1 Décomposition canonique d'une similitude qui n'est pas une isométrie

VI-2 Point fixe d'une similitude directe qui n'est pas une isométrie

VI-3 Point fixe d'une similitude indirecte qui n'est pas une isométrie

VI-4 Exercices

Géométrie du plan complexe → VI Etude des similitudes qui ne sont pas des isométries

VI-1 Décomposition canonique d'une similitude qui n'est pas une isométrie

Géométrie du plan complexeVI Etude des similitudes qui ne sont pas des isométries → VI-1 Décomposition canonique d'une similitude qui n'est pas une isométrie
On va maintenant montrer qu'on peut écrire une similitude qui n'est pas une isométrie comme composée commutative d'une homothétie et d'une isométrie à point fixe.

Proposition

Soit s une similitude qui n'est pas une isométrie ( a1 dans son écriture complexe). Alors s admet un unique point fixe, noté C d'affixe c, appelé centre de la similitude.
Alors, si λ est le rapport de s, on peut écrire s=h(C,λ)ϕ=ϕh(C,λ)ϕ est une isométrie admettant C comme point fixe. Cette écriture est appelée décomposition canonique de s.

Démonstration
L'existence et l'unicité du point fixe sont démontrées ici et . Supposons que s fixe le point C d'affixe c.
Si la similitude est directe, pour commencer, alors on a c=ac+b et donc zc=a(zc). Prenons C comme origine ; dans ce nouveau repère, l'affixe Z d'un point vaut zc. On a donc
Z=aZ=a(aaZ)=aa(aZ)
La similitude R a,b est donc la composée commutative de h(C,a) et d'une isométrie (le complexe aa est de module 1) qui fixe la nouvelle origine C, c'est-à-dire une rotation de centre C.
Si s est indirecte, on fait le même calcul sans problème avec des conjugués aux bons endroits et on écrit donc s comme composée de l'homothétie h(C,a) et d'une isométrie négative qui fixe C, donc une réflexion.
Fin de la démonstration
Géométrie du plan complexeVI Etude des similitudes qui ne sont pas des isométries → VI-1 Décomposition canonique d'une similitude qui n'est pas une isométrie

VI-2 Point fixe d'une similitude directe qui n'est pas une isométrie

Géométrie du plan complexeVI Etude des similitudes qui ne sont pas des isométries → VI-2 Point fixe d'une similitude directe qui n'est pas une isométrie
Soit s est une similitude directe R a,b qui n'est pas une isométrie ( a1). Le point C est fixe par s si et seulement si c vérifie c=ac+b ; cette équation aux points fixes a une unique solution : c=b1a puisque a ne peut être égal à 1.

Proposition

Dans le cas a1, la similitude directe R a,b admet pour centre son unique point fixe C d'affixe b1a et vérifie
R a,b=h(C,a)ρ(C,Arg(a))=ρ(C,Arg(a))h(C,a).
On note s(C,θ,λ) la similitude composée de h(C,λ) et de ρ(C,θ). Son expression complexe est : z=λe iθ(zc)+c

Figure : Image d'un carré par une similitude directe.
Le carré AODE est l'image de ABCD par la similitude de centre A d'angle π4 et de rapport 22. On peut afficher l'image de AODE par la rotation ρ(O,π4).
Géométrie du plan complexeVI Etude des similitudes qui ne sont pas des isométries → VI-2 Point fixe d'une similitude directe qui n'est pas une isométrie

VI-3 Point fixe d'une similitude indirecte qui n'est pas une isométrie

Géométrie du plan complexeVI Etude des similitudes qui ne sont pas des isométries → VI-3 Point fixe d'une similitude indirecte qui n'est pas une isométrie
Considérons maintenant le cas d'une similitude indirecte S a,b qui n'est pas une isométrie ( a1) et recherchons les éventuels points fixes de S a,b.
Si c est un point fixe de S a,b, alors c est un point fixe de S a,bS a,b. La réciproque est fausse, il suffit de considérer une réflexion : son carré est l'identité, donc admet tout point comme point fixe.
Déterminons donc les éventuels points fixes de S a,bS a,b :
S a,bS a,b(c)=c(1a 2)c=ab¯+b
Comme on a supposé a1, l'application S a,bS a,b a un unique point fixe C d'affixe c=ab¯+b1a 2.
Vérifions que C est point fixe de S a,b.
S a,b(ab¯+b1a 2) = a(ab¯+b1a 2)¯+b = 11a 2[a(ab¯+b¯)+(1a 2)b] = 11a 2(ab¯+b)
On a bien S a,b(c)=c.

Proposition

Dans le cas a1, la similitude indirecte S a,b admet comme centre son unique point fixe c d'affixe ab¯+b1a 2. Elle est la composée de l'homothétie h(C,a) et de la réflexion d'axe Δ passant par C et faisant un angle α=(Arga)/2 (modulo pi) avec l'axe des abscisses.
S a,b=h(C,a)σ Δ=σ Δh(C,a)
On note S a,b=s(C,Δ,a)=h(C,a)σ Δ. Posons θ=((Ox),Δ)=Arga/2. L'expression complexe de s(C,Δ,a) est : z=ae 2iθ(z¯c¯)+c.

Figure : Image d'un triangle par une similitude indirecte.
Le triangle PEQ est l'image de AEF par la similitude de centre E d'axe (EF) et de rapport k. On peut faire apparaître le symétrique AEF par rapport à (EF).
Géométrie du plan complexeVI Etude des similitudes qui ne sont pas des isométries → VI-3 Point fixe d'une similitude indirecte qui n'est pas une isométrie

VI-4 Exercices

Certains exercices admettent pour le centre ou le vecteur des expressions non simplifiées.
  1. Ecriture complexe d'une similitude directe
  2. Centre et rapport d'une similitude directe
  3. Type d'une similitude directe
  4. Similitude directe définie géométriquement dans un polygone
  5. Type d'une similitude et éléments caractéristiques

VII Composition des similitudes

Géométrie du plan complexe → VII Composition des similitudes

VII-1 Groupe des similitudes

VII-1-1 Inverse d'une similitude qui n'est pas une isométrie

Géométrie du plan complexeVII Composition des similitudesVII-1 Groupe des similitudes → VII-1-1 Inverse d'une similitude qui n'est pas une isométrie
Soient λ un réel positif différent de 0 et 1, theta un réel, C un point du plan, Delta une droite passant par C. Nous avons vu les inverses des isométries dans le document Isométries du plan et celui d'une homothétie ici . Comme la décomposition canonique est commutative, nous en déduisons :

Proposition


  1. L'inverse de s(C,θ,λ)=h(C,λ)ρ(C,θ) est s(C,θ,λ 1)=h(C,λ 1)ρ(C,θ)
  2. L'inverse de s(C,Δ,λ)=h(C,λ)σ Δ est s(C,Δ,λ 1)=h(C,λ 1)σ Δ.
Géométrie du plan complexeVII Composition des similitudesVII-1 Groupe des similitudes → VII-1-1 Inverse d'une similitude qui n'est pas une isométrie

VII-1-2 Composées de similitudes

Nous caractérisons les similitudes comme les applications du plan qui conservent les rapports de longueur.

Proposition

Les similitudes sont les applications qui conservent le rapport des longueurs.

Démonstration
Nous avons défini une similitude comme la composée d'une homothétie et d'une isométrie. Il en résulte facilement qu'une similitude conserve le rapport des longueurs. En effet, soit s une similitude de rapport λ et deux points M, N (resp. P et Q) distincts alors des égalités s(M)s(N)=λMN et s(P)s(Q)=λPQ, on déduit s(M)s(N)s(P)s(Q)=MNPQ.
Réciproquement, soit une application ψ du plan qui conserve le rapport des longueurs. Alors pour deux points quelconques M et N (resp. P et Q) distincts, on peut écrire ψ(M)ψ(N)ψ(P)ψ(Q)=MNPQ. On en déduit l'égalité de rapports :
ψ(M)ψ(N)MN=ψ(P)ψ(Q)PQ.
Notons λ la valeur commune des rapports ψ(M)ψ(N)MN. On a donc montré que ψ multiplie les longueurs par λ ; on en déduit que h(O,λ 1)ψ est une isométrie donc psi est une similitude.
Fin de la démonstration

De cette caractérisation des similitudes, nous déduisons que la composée de deux similitudes est une similitude. Plus précisément, comme une similitude multiplie les longueurs par son rapport, le rapport de la composée de deux similitudes est une similitude de rapport le produit des rapports.

VII-1-3 Groupe des similitudes

VII-2 Similitudes et angles orientés

Géométrie du plan complexeVII Composition des similitudes → VII-2 Similitudes et angles orientés

Proposition

Une homothétie conserve les angles orientés.

Démonstration
Soit un réel λ différent de 0 et 1 et C un point du plan. On considère trois points distincts M, P et Q et leurs images M, P et Q par h(C,λ). La relation de Chasles et la définition de h(C,λ) permettent d'écrire :
MP=CPCM=λ(CPCM)=λMP
On en déduit que l'angle orienté (MP,MQ) est égal à l'angle (MP,MQ), on peut donc affirmer qu'une homothétie conserve les angles orientés.
Fin de la démonstration

On en déduit la proposition suivante.

Proposition


  1. Une similitude directe conserve les angles orientés.
  2. Une similitude indirecte conserve les angles géométriques et transforme un angle orienté en son opposé.
En considérant l'action des similitudes sur les angles orientés, on montre la proposition suivante.

Proposition


  1. La composée de deux similitudes directes (ou de deux similitudes indirectes) est une similitude directe.
  2. La composée d'une similitude directe et d'une similitude indirecte est une similitude indirecte.

Corollaire

L'ensemble des similitudes directes du plan complexe est un groupe pour la loi de composition.
Géométrie du plan complexeVII Composition des similitudes → VII-2 Similitudes et angles orientés

VII-3 Composées de similitudes directes

Géométrie du plan complexeVII Composition des similitudes → VII-3 Composées de similitudes directes

Soient deux réels λ et λdifférents de 0 et 1, deux angles θ et θ et deux points C et C.
La composée ψ=s(C,θ,λ)s(C,θ,λ) a pour écriture complexe :
z=λe iθ(λe iθ(zc)+cc)+c
Nous nous intéressons principalement au coefficient de z : a=λe iθλe iθ=λλe i(θ+θ) qui indique que le rapport de ϕ est λλ (nous le savions déjà) et son angle la somme de angles θ et θ.
Nous pouvons maintenant énoncer la proposition suivante :

Proposition

Soient deux réels λ et λdifférents de 0 et 1, deux angles θ et θ et deux points C et C.
  • Si θ+θ n'est pas nul alors la composée s(C,θ,λ)s(C,θ,λ) est la similitude s(Ω,θ+θ,λλ) dont on aura à déterminer le centre Ω.
  • Si θ+θ n'est pas nul et que λλ vaille 1, la similitude composée est une rotation d'angle θ+θ.
  • Si θ+θ est nul et λλ différent de 1, la composée s(C,θ,λ)s(C,θ,λ) est une homothétie de rapport λλ dont on aura à déterminer le centre.
  • Si θ+θ est nul et λλ égal à 1, la composée s(C,θ,λ)s(C,θ,λ) est une translation.

Corollaire

L'ensemble des homothéties et des translations est un groupe pour la loi de composition.

Démonstration
On savait déjà que les translations forment un groupe ; la proposition précédente permet d'affirmer que la composée d'une translation et d'une homothétie est une homothétie et que la composée de deux homothéties est une homothétie ou une translation.
Fin de la démonstration
Géométrie du plan complexeVII Composition des similitudes → VII-3 Composées de similitudes directes

VII-4 Exercices de composition

Géométrie du plan complexeVII Composition des similitudes → VII-4 Exercices de composition

VIII Propriétés des similitudes

Géométrie du plan complexe → VIII Propriétés des similitudes

VIII-1 Figures semblables

Les isométries conservent forme et taille d'une figure. Les similitudes qui ne sont pas des isométries conservent la forme des figures mais seul le rapport des longueurs est conservé.

Définition

On dit que deux figures sont semblables si l'une est la transformée de l'autre par une similitude.

Exercices


Figures semblables
Ensemble de figures semblables

VIII-2 Similitude définie par l'image de deux points donnés

Géométrie du plan complexeVIII Propriétés des similitudes → VIII-2 Similitude définie par l'image de deux points donnés

Proposition

Soient P et Q (resp. P et Q) deux points distincts. Il existe une unique similitude directe (resp. indirecte) s telle que l'on ait
s(P)=Pets(Q)=Q.

Démonstration
Notons p, p, q et q les affixes respectives de P, P, Q et Q'.
Recherche de la similitude directe. On sait qu'une similitude directe a pour expression complexe s(z)=az+b. On cherche donc deux nombres complexes a et b tels que
{p = ap+b q = aq+b
Pour trouver a, on retranche la deuxième équation à la première. Pour trouver b, on multiplie la première (respectivement seconde) équation par q (resp. p) et on retranche la deuxième équation à la première. Comme P et Q sont distincts ( pq), on obtient :
a=pqpq et b=pqqpqp
Comme P et Q sont distincts ( pq), le complexe a n'est pas nul.
L'expression de a signifie que le rapport de la similitude est a=PQPQ et que son angle est Arg(a)=(PQ,PQ).
Recherche de la similitude indirecte. On sait qu'une similitude indirecte a pour expression complexe s(z)=az¯+b. On cherche donc deux nombres complexes a et b tels que
{p = ap¯+b q = aq¯+b
La seule solution est alors
a=pqp¯q¯ et b=pq¯qp¯q¯p¯.
A nouveau, le rapport est a=PQPQ.
Fin de la démonstration

Exercice


Ecriture complexe d'une similitude donnée par l'image de deux points
Géométrie du plan complexeVIII Propriétés des similitudes → VIII-2 Similitude définie par l'image de deux points donnés

VIII-3 Image d'une droite ou d'un cercle

Géométrie du plan complexeVIII Propriétés des similitudes → VIII-3 Image d'une droite ou d'un cercle
Soient P et Q deux points distincts d'affixes respectives p et q, λ et r deux réels strictement positifs.
En utilisant les propriétés des homothéties, des isométries et de la décomposition canonique, on montre que l'image de (PQ) par une similitude s est la droite (s(P)s(Q)).
L'image du cercle 𝒞(P,r) de centre P et de rayon r par une similitude s de rapport λ est le cercle 𝒞(s(P),λr) en effet on a, pour tout point M du plan, d'affixe m :
M𝒞(P,r)mp=rs(m)s(p)=λrs(M)𝒞(s(P),λr).
Géométrie du plan complexeVIII Propriétés des similitudes → VIII-3 Image d'une droite ou d'un cercle

cours sur les isométries et similitudes.
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