Résolution d'équations

Résolution d'équations


Sur la résolution des équations de base

I Égalité

II Équation

III Problème

I Égalité

Définition [Égalité]

Une égalité est une phrase mathématique dans laquelle il y a un signe égal. Cette égalité peut être vraie ou fausse.

Exemple

  • Soit t la taille du professeur. L'égalité t=184 cm est vraie !
  • Soit m la masse du professeur. L'égalité m=24 kg est (heureusement) fausse.

Une égalité peut être écrite avec un nombre inconnu, le plus souvent désigné par une lettre, par exemple 10x+24=13x. Tester l'égalité, c'est regarder si l'égalité est vraie pour une valeur particulière donnée à x.

Exemple [ ]

Gardons l'équation ci-dessus : 10x+24=13x. L'égalité est-elle vraie si x=8 ? si x=8 ?
  • Quand x=8, on donne 8 comme valeur particulière de x dans l'égalité précédente. On calcule séparément la valeur des membres de gauche et de droite de l'égalité avec cette valeur particulière.
    10x+24=10×8+24, soit 104 et pour l'autre membre, 13x=13×8 soit 104. Les nombres 104 et 104 ne sont pas égaux donc l'égalité est fausse pour x=8. On dit aussi que 8 n'est pas solution de l'équation.
  • Faisons le même travail pour x=8.
    Pour le membre de gauche : 10x+24=10×8+24 soit 104. Et pour l'autre membre, 13x=13×8 soit 104. Quand x=8, les deux membres sont égaux ; on dit que 8 est solution de l'équation. Mais qu'est-ce qu'une équation ?
Résolution d'équations → I Égalité

II Équation

Définition [Équation]

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu désigné par une lettre.

Définition [Résoudre une équation]

Résoudre une équation, c'est déterminer la valeur (ou les valeurs) que doit prendre cette inconnue pour que l'égalité soit vérifiée.

Exercice

  • [ ] Quelles valeurs peut-on donner à x pour que l'équation 0×x=0 soit vraie ?
  • [ ] Quelles valeurs peut-on donner à x pour que l'équation 0×x=1 soit vraie ?

Solution
  • On peut donner n'importe quelle valeur, il y a une infinité de solution. Plus tard dans la scolarité, on verra d'autres équations qui ont 2, 3 ... solutions.
  • Il n'y a pas de solution !
On résout une équation comme le montre les exemples suivants, en retenant les règles générales ci-après :

Proposition

On ne change pas les solutions d'une équation quand :
  • On additionne un même nombre à ses deux membres ;
  • On soustrait un même nombre à ses deux membres ;
  • On multiplie par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;
  • On divise par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;

II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

Résolution d'équations → II Équation

II-1 Premier exemple


On veut résoudre l'équation y9=16, on procède ainsi :
y9 = 16 y9+9 = 16+9 y = 25
La solution de l'équation est y=25.
Résolution d'équationsII Équation → II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple


On veut résoudre l'équation l+13=14, on procède ainsi :
l+13 = 14 l+1313 = 1413 l = 1
La solution de l'équation est l=1.
Résolution d'équationsII Équation → II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple


On veut résoudre l'équation 10i=21, on procède ainsi :
10i = 21 10i10 = 2110 i = 2,1

La solution de l'équation est i=2,1.
Résolution d'équationsII Équation → II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple


On veut résoudre l'équation x6=9, on procède ainsi :
x6 = 9 x6×6 = 9×6 x = 54

La solution de l'équation est x=54.
Résolution d'équationsII Équation → II-4 Quatrième exemple

III Problème

Il y a trois étapes à respecter pour la rédaction des résolutions des problèmes :
  1. Si elle n'est pas imposée par l'énoncé, le choix de l'inconnue. Généralement, soit x ce que l'on cherche .
  2. Mise en équation du problème et sa résolution.
  3. Conclusion par une phrase au problème posé.


Exercice

Le père d'Augustin a neuf fois l'âge de son fils et si l'on ajoute 18 à la somme de leur âge, on trouve un 58.
Solution
  1. Choix de l'inconnue Soit x l'âge d'Augustin.
    • Mise en équation Le père d'Augustin a neuf fois son âge, donc son âge est de : 9x ;
      La somme de leur âge est donc de 9x+x=10x.
      Si on ajoute 18 à la somme de leur âge, on trouve 58, d'où l'équation 10x+18=58
    • Résolution
      10x+18 = 58 10x = 5818 10x = 40 x = 4010 x = 4

  2. Augustin a donc 4 ans. (Bonus : son père a 36 ans !)
Résolution d'équations → III Problème

document sur la signification d'une équation et sur sa résolution (niveau élémentaire).
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Description: document sur la signification d'une équation et sur sa résolution (niveau élémentaire). serveur web interactif avec des cours en ligne, des exercices interactifs en sciences et langues pour l'enseigment primaire, secondaire et universitaire, des calculatrices et traceurs en ligne

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