Résolution d'équations

Résolution d'équations


Sur la résolution des équations de base

I Égalité

II Équation

III Problème

I Égalité

Définition [Égalité]

Une égalité est une phrase mathématique dans laquelle il y a un signe égal. Cette égalité peut être vraie ou fausse.

Exemple

  • Soit t la taille du professeur. L'égalité t=184 cm est vraie !
  • Soit m la masse du professeur. L'égalité m=24 kg est (heureusement) fausse.

Une égalité peut être écrite avec un nombre inconnu, le plus souvent désigné par une lettre, par exemple 10x+176=18x. Tester l'égalité, c'est regarder si l'égalité est vraie pour une valeur particulière donnée à x.

Exemple [ ]

Gardons l'équation ci-dessus : 10x+176=18x. L'égalité est-elle vraie si x=7 ? si x=22 ?
  • Quand x=7, on donne 7 comme valeur particulière de x dans l'égalité précédente. On calcule séparément la valeur des membres de gauche et de droite de l'égalité avec cette valeur particulière.
    10x+176=10×7+176, soit 246 et pour l'autre membre, 18x=18×7 soit 126. Les nombres 246 et 126 ne sont pas égaux donc l'égalité est fausse pour x=7. On dit aussi que 7 n'est pas solution de l'équation.
  • Faisons le même travail pour x=22.
    Pour le membre de gauche : 10x+176=10×22+176 soit 396. Et pour l'autre membre, 18x=18×22 soit 396. Quand x=22, les deux membres sont égaux ; on dit que 22 est solution de l'équation. Mais qu'est-ce qu'une équation ?
Résolution d'équations → I Égalité

II Équation

Définition [Équation]

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu désigné par une lettre.

Définition [Résoudre une équation]

Résoudre une équation, c'est déterminer la valeur (ou les valeurs) que doit prendre cette inconnue pour que l'égalité soit vérifiée.

Exercice

  • [ ] Quelles valeurs peut-on donner à x pour que l'équation 0×x=0 soit vraie ?
  • [ ] Quelles valeurs peut-on donner à x pour que l'équation 0×x=1 soit vraie ?

Solution
  • On peut donner n'importe quelle valeur, il y a une infinité de solution. Plus tard dans la scolarité, on verra d'autres équations qui ont 2, 3 ... solutions.
  • Il n'y a pas de solution !
On résout une équation comme le montre les exemples suivants, en retenant les règles générales ci-après :

Proposition

On ne change pas les solutions d'une équation quand :
  • On additionne un même nombre à ses deux membres ;
  • On soustrait un même nombre à ses deux membres ;
  • On multiplie par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;
  • On divise par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;

II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

Résolution d'équations → II Équation

II-1 Premier exemple


On veut résoudre l'équation z10=20, on procède ainsi :
z10 = 20 z10+10 = 20+10 z = 30
La solution de l'équation est z=30.
Résolution d'équationsII Équation → II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple


On veut résoudre l'équation n+9=9, on procède ainsi :
n+9 = 9 n+99 = 99 n = 0
La solution de l'équation est n=0.
Résolution d'équationsII Équation → II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple


On veut résoudre l'équation 10e=45, on procède ainsi :
10e = 45 10e10 = 4510 e = 4,5

La solution de l'équation est e=4,5.
Résolution d'équationsII Équation → II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple


On veut résoudre l'équation z9=13, on procède ainsi :
z9 = 13 z9×9 = 13×9 z = 117

La solution de l'équation est z=117.
Résolution d'équationsII Équation → II-4 Quatrième exemple

III Problème

Il y a trois étapes à respecter pour la rédaction des résolutions des problèmes :
  1. Si elle n'est pas imposée par l'énoncé, le choix de l'inconnue. Généralement, soit x ce que l'on cherche .
  2. Mise en équation du problème et sa résolution.
  3. Conclusion par une phrase au problème posé.


Exercice

Le père d'Augustin a six fois l'âge de son fils et si l'on ajoute 8 à la somme de leur âge, on trouve un 64.
Solution
  1. Choix de l'inconnue Soit x l'âge d'Augustin.
    • Mise en équation Le père d'Augustin a six fois son âge, donc son âge est de : 6x ;
      La somme de leur âge est donc de 6x+x=7x.
      Si on ajoute 8 à la somme de leur âge, on trouve 64, d'où l'équation 7x+8=64
    • Résolution
      7x+8 = 64 7x = 648 7x = 56 x = 567 x = 8

  2. Augustin a donc 8 ans. (Bonus : son père a 48 ans !)
Résolution d'équations → III Problème

document sur la signification d'une équation et sur sa résolution (niveau élémentaire).
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