Écriture fractionnaire

Écriture fractionnaire

I Définitions et représentations

Écriture fractionnaire → I Définitions et représentations

I-1 Numérateur et dénominateur

Définition [Fraction]

Le quotient d'un nombre entier a par un nombre entier b différent de 0, est noté par la fraction ab. Le quotient ab est donc le nombre qui multiplié par b donne a.

Remarque

  • On a toujours b×ab=a, par exemple :
    23 times 1023 = 10
  • Dans l'écriture a:b, a est le dividende, et b le diviseur. Par exemple dans l'écriture 3:14, le dividende est 3 et le diviseur est 14.
  • Dans l'écriture ab, a est le numérateur (emprunté au latin numerator : celui qui compte , b le dénominateur (emprunté au latin denominator : celui qui nomme , parce que ce terme dénomme, détermine les unités considérées). Par exemple dans la fraction 139, le numérateur est 13 et le dénominateur est 9.
  • La fraction est un quotient, c'est-à-dire le résultat d'une division, c'est-à-dire un nombre .

Définition [Numérateur]

C'est la partie de la fraction qui compte combien cette fraction contient de parties de l'unité.

Définition [Dénominateur]

C'est la partie d'une fraction qui indique en combien de parties égales l'unité est divisée.
Écriture fractionnaireI Définitions et représentations → I-1 Numérateur et dénominateur

I-2 Quelques idées

Première idée





On se donne la fraction 14, que l'on peut considérer comme étant 1×14.
On se donne le segment unité :

Comme le dénominateur est 4, on partage l'unité en 4 parties égales :
et donc on prend 1 parties de ce partage :
on a bien la distance 14

Deuxième idée


On se donne la fraction 14, que l'on peut considérer comme étant le quart de 1. On se donne le segment unité :
Comme le numérateur est 1, on prend 1 fois cette longueur (ici cela ne change rien !) :
On divise cette longueur en 4
et on peut placer notre nombre :

Troisième idée


La fraction 14 est le nombre qui vaut est 0 car la division tombe juste (poser la division pour vérifier). Il est alors aisé de placer ce nombre sur un axe gradué.

Remarque

Dans toutes les méthodes utilisées ci-dessus, la distance de 0 à 14 est bien toujours la même (attention au changement dans le choix de l'unité quand même !)

II Écritures fractionnaires différentes d'un même nombre

Écriture fractionnaire → II Écritures fractionnaires différentes d'un même nombre

II-1 Une première approche

Voici une illustration :


On remarque que les deux rectangles sont superposables, et que les surfaces colorées aussi.
Or dans le premier cas on a coloré le quart du rectangle, alors que dans le deuxième cas, on a coloré les 3 douzièmes.
On peut en déduire que les fractions 14 et 312 sont égales.

On note : 14=312. Un même nombre (un quotient est un nombre) peut donc s'écrire de plusieurs manières différentes.
On remarque aussi que :
14=0,25 et 312=0,25
Les deux quotients sont bien les mêmes !

II-2 Théorème et exercices

Théorème [Fractions égales]

Un quotient ab ne change pas lorsque l'on multiplie (ou que l'on divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. Soit a, b0, et k0 des nombres, on a :
ab = a×kb×k ab = a÷kb÷k

Exemple [Simplifier les fractions ]

En utilisant la règle ci-dessus, et en écrivant les différentes étapes, simplifier la fraction : 12133. On peut simplifier de deux manières différentes :
12133=11×113×11=113
ou
12133=121÷1133÷11=113

Exemple [Trouver un décimal ]



On donne les fractions suivantes : 495. On demande de l'écrire sous la forme d'une fraction décimale (fraction dont le dénominateur est 10,100, 1000, ...) pour en déduire l'écriture décimale. On peut écrire :
495=49×25×2=9810=9,8

II-3 Prolongements intéressants

Premier prolongement


On se donne une fraction 144. On peut écrire 144=14÷44÷4=3,51. Ces écritures représentent le même nombre. Par contre, quand le numérateur ou le dénominateur ne sont pas des entiers, on ne parle plus de fraction , mais d'écriture fractionnaire.

Deuxième prolongement


On se donne la fraction 15,70,7, on peut écrire 15,70,7=15,7×100,7×10=1577. C'est bien cela que l'on a utilisé pour apprendre à faire des divisions avec des décimaux ! On vient de passer d'une écriture fractionnaire à une fraction.

Décimaux vers fractions


Tous les nombres décimaux (a fortiori les nombres entiers) admettent toujours une (et donc plusieurs) écriture fractionnaire. Par exemple : 1,7=17001000=.

Remarque

Il est important de remarquer que la réciproque est fausse. Il existe des fractions qui n'ont pas d'écriture décimale, par exemple :

109

est une fraction, mais n'est pas un nombre décimal, car si on effectue la division, elle ne s'arrête pas.

III Prendre la fraction d'une quantité

Écriture fractionnaire → III Prendre la fraction d'une quantité

III-1 Point méthode pour prendre la fraction d'une quantité

Théorème [Multiplication d'un nombre décimal par une fraction]

Pour multiplier un nombre décimal a par une fraction bc (avec c0), c'est-à-dire pour calculer a×bc ou bc×a, puisque la multiplication est commutative, on peut utiliser l'une ou l'autre des méthodes ci-dessous :
  • Méthode 1 On calcule, si on le peut, le quotient b÷c puis on multiplie par a le résultat, ce que l'on peut aussi écrire : a×bc=a×(b÷c).
  • Méthode 2 On calcule le produit a×b, puis on divise par c, ce que l'on peut aussi écrire : a×bc=(a×b)÷c.
  • Méthode 3 On calcule le quotient a÷c, puis on multiplie le résultat par b, ce que l'on peut écrire : a×bc=(a÷c)×b.

Exemple

On se propose d'effectuer différents calculs avec les trois méthodes décrites :
Première méthode : a×bc=a×(b÷c)
A = 720×45
A = 720×0.8
A = 576
Deuxième méthode : a×bc=(a×b)÷c
A = 720×45
A = 720×45
A = 28805
A = 576
Troisième méthode : a×bc=(a÷c)×b
A = 720×45
A = 7205×4
A = 144×4
A = 576

Remarque

  • La première méthode n'est pas toujours pertinente.
  • La deuxième méthode peut faire manipuler des nombres importants.
  • La troisième méthode semble souvent rapide pour les calculs qui peuvent se faire de tête.
Écriture fractionnaireIII Prendre la fraction d'une quantité → III-1 Point méthode pour prendre la fraction d'une quantité

IV Comparer des nombres en écriture fractionnaire

Théorème [Comparer des écritures fractionnaires de même dénominateur]

Si deux nombres en écriture fractionnaire ont le même dénominateur, alors le plus petit est celui qui a le plus petit numérateur.

Exemple [ ]


On a 97<107 qui peut aussi s'écrire 107>97.
De même on a : 190,9>80,9 que l'on peut aussi écrire 80,9<190,9.

Théorème [Comparer des écritures fractionnaires de même numérateur]

Si deux nombres en écriture fractionnaire ont le même numérateur, alors le plus petit est celui qui a le plus grand dénominateur.

Exemple [ ]


On a 1315<134 qui peut aussi s'écrire 134>1315.
De même on a : 1,15>1,115 que l'on peut aussi écrire 1,115<1,15.

Théorème [Comparer quand les dénominateurs sont différents]

Pour comparer deux nombres en écriture fractionnaire de dénominateurs différents, on peut commencer par les écrire avec le même dénominateur.

Exemple [ ]

On veut comparer les fractions suivantes : 208 et 1316. On a 208=4016, donc cela revient à comparer 1316 et 4016 comme 40>13 alors 4016>1316 et donc finalement 208>1316
Écriture fractionnaire → IV Comparer des nombres en écriture fractionnaire

V Calcul de quotients et priorité

On calcule une expression de la forme :

a+bc

ab+c

a+cb


comme le montrent les exemples suivants.
A = 20+28 A = 20+0,25 A = 20,25
B = 202+8 B = 2010 B = 2
C = 20+82 C = 282 C = 14

Ceci afin de respecter les priorités des opérations entre elles. On peut d'ailleurs écrire (ce que l'on ferait pour une calculette) :

A=20+2÷8, B=20÷(2+8) et C=(20+8)÷2


ce qui fait bien apparaître les priorités.

Remarque

On applique les mêmes schémas de calcul avec la soustraction au lieu de l'addition.
Cependant, on souhaiterait ne plus passer par les décimaux pour faire les calculs...
Écriture fractionnaire → V Calcul de quotients et priorité

VI Addition et soustraction en écriture fractionnaire

Théorème [Addition, soustraction en écriture fractionnaire]

Pour additionner (ou pour soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur  :
  • on additionne (ou on soustrait) les deux numérateurs ;
  • on garde le dénominateur commun.
Autrement dit, si a, b et d sont des nombres ( d non nul), on a :

ad+bd=a+bd

adbd=abd


Exemple [ ]

A = 8817+917 A = 88+917 A = 9717
et le résultat simplifié est :

Remarque

Si les dénominateurs sont différents, on commence par écrire les deux nombres avec un même dénominateur.

Exemple [ ]

B = 29,430+9,415 B = 29,430+9,4×215×2 B = 29,430+18,830 B = 29,4+18,830 B = 48,230
et le résultat simplifié vaut :
Écriture fractionnaire → VI Addition et soustraction en écriture fractionnaire

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